WikiDer > Проблема множественной общности

Problem of multiple generality

В проблема множественной общности называет неудачу в традиционная логика описывать определенные интуитивно действительный выводы. Например, интуитивно понятно, что если:

Какого-то кота боится каждая мышь

тогда логически следует, что:

Все мыши боятся хотя бы одной кошки

Синтаксис традиционной логики (TL) допускает ровно четыре типа предложений: «Все как есть B», «Нет, как есть B», «Некоторые как есть B» и «Некоторые как не являются B». Каждый тип - это количественное предложение, содержащее ровно один квантор. Поскольку каждое из приведенных выше предложений содержит два квантификатора («некоторые» и «каждый» в первом предложении и «все» и «хотя бы один» во втором предложении), они не могут быть адекватно представлены в языке TL. Лучшее, что может сделать TL, - это включить второй квантификатор из каждого предложения во второй термин, тем самым сделав искусственно звучащие термины «боится-каждая-мышь» и «боится-хотя бы одной-кошки». По сути, это «хоронит» эти количественные показатели, которые необходимы для достоверности вывода, внутри терминов, поставленных через дефис. Следовательно, фраза «Какого-то кота боится всякая мышь» имеет одинаковое значение. логическая форма как предложение «Какой-то кот голоден». Итак, логическая форма TL такова:

Некоторые как Bs
Все C - это D

что явно недействительно.

Первое логическое исчисление, способное иметь дело с такими выводами, было Готтлоб Фрегес Begriffsschrift (1879), предок современного логика предикатов, который имеет дело с квантификаторами с помощью привязок переменных. Скромно, но Фреге не утверждал, что его логика более выразительна, чем существующие логические исчисления, но комментаторы логики Фреге считают это одним из его ключевых достижений.

Используя современные исчисление предикатов, мы быстро обнаруживаем, что утверждение неоднозначно.

Какого-то кота боится каждая мышь

может означать (Какая-то кошка боится) каждой мышью (можно перефразировать как Каждая мышь боится кошки), т.е.

Для каждой мыши m существует кошка c, такая, что m боится c,

в этом случае вывод тривиален.

Но это также могло означать Какая-то кошка (боится каждой мыши) (можно перефразировать как Кошка боится всех мышей), т.е.

Существует одна кошка c, такая что для каждой мыши m, c боится m.

Этот пример иллюстрирует важность определения области действия таких квантификаторов, как для всех и Существует.

дальнейшее чтение

  • Патрик Суппес, Введение в логику, Д. Ван Ностранд, 1957, ISBN 978-0-442-08072-3.
  • А. Г. Гамильтон, Логика для математиков, Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-29291-3.
  • Пол Халмос и Стивен Гивант, Логика как алгебра, МАА, 1998 г., ISBN 0-88385-327-2.