WikiDer > Стохастическая волатильность

Stochastic volatility

В статистике стохастическая волатильность модели - это те, в которых отклонение из случайный процесс сам распределяется случайным образом.^[1] Они используются в области математические финансы оценить производная ценные бумаги, Такие как опции. Название происходит от подхода моделей к базовым ценным бумагам. непостоянство как случайный процесс, регулируется переменные состояния таких как уровень цен базовой ценной бумаги, тенденция волатильности возвращаться к некоторому долгосрочному среднему значению и отклонение самого процесса волатильности, среди прочего.

Модели стохастической волатильности - один из подходов к устранению недостатка Блэк – Скоулз модель. В частности, модели, основанные на модели Блэка-Шоулза, предполагают, что базовая волатильность является постоянной в течение срока действия производного инструмента и не зависит от изменений уровня цен базовой ценной бумаги. Однако эти модели не могут объяснить давно наблюдаемые особенности предполагаемой поверхности летучести, такие как непостоянство улыбка и перекос, которые указывают на то, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию меняться в зависимости от цена исполнения и истечение срока. Предполагая, что волатильность базовой цены является случайным процессом, а не константой, становится возможным более точное моделирование производных финансовых инструментов.

Базовая модель

Исходя из подхода постоянной волатильности, предположим, что цена базового актива производного инструмента соответствует стандартной модели для геометрическое броуновское движение:

{ Displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t} ,}

куда ${ displaystyle mu ,}$ постоянный дрейф (т.е. ожидаемая доходность) цены ценной бумаги ${ Displaystyle S_ {т} ,}$ , ${ Displaystyle sigma ,}$ - постоянная волатильность, а ${ displaystyle dW_ {t} ,}$ это стандарт Винеровский процесс с нуля иметь в виду и удельная ставка отклонение. Явное решение этого стохастическое дифференциальное уравнение является

{ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {( mu - { frac {1} {2}} sigma ^ {2}) t + sigma W_ {t}}.}

В оценщик максимального правдоподобия для оценки постоянной волатильности ${ Displaystyle sigma ,}$ для данной цены акций ${ Displaystyle S_ {т} ,}$ в разное время ${ displaystyle t_ {i} ,}$ является

{ displaystyle { begin {align} { widehat { sigma}} ^ {2} & = left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { гидроразрыв {( ln S_ {t_ {i}} - ln S_ {t_ {i-1}}) ^ {2}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} right) - { гидроразрыв {1} {n}} { frac {( ln S_ {t_ {n}} - ln S_ {t_ {0}}) ^ {2}} {t_ {n} -t_ {0}}} & = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (t_ {i} -t_ {i-1}) left ({ frac { ln { гидроразрыв {S_ {t_ {i}}} {S_ {t_ {i-1}}}}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} - { frac { ln { frac {S_ { t_ {n}}} {S_ {t_ {0}}}}} {t_ {n} -t_ {0}}} right) ^ {2}; end {align}}}

это ожидаемое значение является ${ displaystyle operatorname {E} left [{ widehat { sigma}} ^ {2} right] = { frac {n-1} {n}} sigma ^ {2}.}$

Эта базовая модель с постоянной волатильностью ${ Displaystyle sigma ,}$ является отправной точкой для нестохастических моделей волатильности, таких как Модель Блэка – Шоулза и Модель Кокса – Росса – Рубинштейна..

Для модели стохастической волатильности замените постоянную волатильность ${ Displaystyle sigma ,}$ с функцией ${ Displaystyle ню _ {т} ,}$ , который моделирует дисперсию ${ Displaystyle S_ {т} ,}$ . Эта дисперсионная функция также моделируется как броуновское движение и имеет вид ${ Displaystyle ню _ {т} ,}$ зависит от конкретной исследуемой модели КА.

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + { sqrt { nu _ {t}}} S_ {t} , dW_ {t} ,}

{ Displaystyle д ню _ {т} = альфа _ { ню, т} , дт + бета _ { ню, т} , дБ_ {т} ,}

куда ${ Displaystyle альфа _ { ню, т} ,}$ и ${ Displaystyle бета _ { ню, т} ,}$ некоторые функции ${ Displaystyle ню ,}$ , и ${ Displaystyle дБ_ {т} ,}$ другой стандартный гауссовский язык, который коррелирует с ${ displaystyle dW_ {t} ,}$ с постоянным коэффициентом корреляции ${ Displaystyle rho ,}$ .

Модель Хестона

Популярная модель Хестона - это обычно используемая модель SV, в которой случайность дисперсионного процесса изменяется как квадратный корень из дисперсии. В этом случае дифференциальное уравнение для дисперсии принимает вид:

{ displaystyle d nu _ {t} = theta ( omega - nu _ {t}) , dt + xi { sqrt { nu _ {t}}} , dB_ {t} ,}

куда ${ displaystyle omega}$ - средняя долгосрочная дисперсия, ${ displaystyle theta}$ - скорость, с которой дисперсия возвращается к своему долгосрочному среднему значению, ${ Displaystyle xi}$ - волатильность дисперсионного процесса, и ${ Displaystyle дБ_ {т}}$ как ${ displaystyle dW_ {t}}$ , гауссовский с нулевым средним и ${ displaystyle dt}$ дисперсия. Тем не мение, ${ displaystyle dW_ {t}}$ и ${ Displaystyle дБ_ {т}}$ коррелируют с постоянной корреляция ценить ${ displaystyle rho}$ .

Другими словами, модель Heston SV предполагает, что дисперсия - это случайный процесс, который

проявляет тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему значению ${ displaystyle omega}$ по ставке ${ displaystyle theta}$ ,
демонстрирует волатильность, пропорциональную квадратному корню из его уровня
и чей источник случайности коррелирован (с корреляцией ${ displaystyle rho}$ ) со случайностью ценовых процессов базового актива.

Некоторая параметризация поверхности волатильности, например, SVI,^[2] основаны на модели Хестона.

Модель CEV

В CEV Модель описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность:

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} ^ {, gamma} , dW_ {t}}

По идее, на некоторых рынках волатильность возрастает, когда цены растут (например, на сырьевые товары), поэтому ${ displaystyle gamma> 1}$ . На других рынках волатильность имеет тенденцию расти по мере падения цен, что моделируется ${ displaystyle gamma <1}$ .

Некоторые утверждают, что, поскольку модель CEV не включает свой собственный стохастический процесс волатильности, она не является действительно стохастической моделью волатильности. Вместо этого они называют это местная волатильность модель.

Модель волатильности SABR

В SABR модель (Stochastic Alpha, Beta, Rho), представленная Hagan et al.^[3] описывает одиночного форварда ${ displaystyle F}$ (связанный с любым активом, например индексом, процентной ставкой, облигацией, валютой или акцией) при стохастической волатильности ${ displaystyle sigma}$ :

{ displaystyle dF_ {t} = sigma _ {t} F_ {t} ^ { beta} , dW_ {t},}

{ displaystyle d sigma _ {t} = alpha sigma _ {t} , dZ_ {t},}

Начальные значения ${ displaystyle F_ {0}}$ и ${ displaystyle sigma _ {0}}$ текущая форвардная цена и волатильность, тогда как ${ displaystyle W_ {t}}$ и ${ displaystyle Z_ {t}}$ два коррелированных винеровских процесса (т. е. броуновских движений) с коэффициентом корреляции ${ Displaystyle -1 < rho <1}$ . Постоянные параметры ${ Displaystyle бета, ; альфа}$ такие, что ${ Displaystyle 0 Leq бета Leq 1, ; альфа geq 0}$ .

Основная особенность модели SABR - возможность воспроизвести эффект улыбки непостоянство улыбка.

Модель GARCH

Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (ГАРЧ) - еще одна популярная модель для оценки стохастической волатильности. Он предполагает, что случайность процесса дисперсии зависит от дисперсии, в отличие от квадратного корня из дисперсии, как в модели Хестона. Стандартная модель GARCH (1,1) имеет следующий вид для дифференциала дисперсии:

{ Displaystyle д ню _ {т} = тета ( омега - ню _ {т}) , дт + хи ню _ {т} , дБ_ {т} ,}

Модель GARCH была расширена за счет множества вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH и т. Д. Однако строго условные волатильности из моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку в настоящее время т волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений.^[4]

3/2 модель

Модель 3/2 похожа на модель Хестона, но предполагает, что случайность дисперсионного процесса зависит от ${ displaystyle nu _ {t} ^ {3/2}}$ . Форма дифференциала дисперсии:

{ Displaystyle d nu _ {t} = nu _ {t} ( omega - theta nu _ {t}) , dt + xi nu _ {t} ^ {3/2} , дБ_ {t}. ,}

Однако значение параметров отличается от модели Хестона. В этой модели как возврат к среднему значению, так и параметры изменчивости дисперсии являются стохастическими величинами, определяемыми выражением ${ Displaystyle тета ню _ {т}}$ и ${ Displaystyle хи ню _ {т}}$ соответственно.

Калибровка и оценка

После выбора конкретной модели SV ее необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Калибровка - это процесс определения набора параметров модели, которые наиболее вероятно соответствуют наблюдаемым данным. Один из популярных приемов - использовать оценка максимального правдоподобия (MLE). Например, в модели Хестона набор параметров модели ${ Displaystyle Psi _ {0} = { omega, theta, xi, rho } ,}$ можно оценить, применяя алгоритм MLE, например алгоритм Пауэлла. Направленный набор метод [1] к наблюдениям за историческими ценами базовых ценных бумаг.

В этом случае вы начинаете с оценки ${ displaystyle Psi _ {0} ,}$ , вычислить остаточные ошибки при применении исторических данных о ценах к результирующей модели, а затем скорректировать ${ Displaystyle Psi ,}$ чтобы попытаться свести к минимуму эти ошибки. После выполнения калибровки стандартной практикой является периодическая повторная калибровка модели.

Альтернативой калибровке является статистическая оценка, позволяющая учитывать неопределенность параметров. Было предложено и реализовано много частотных и байесовских методов, как правило, для подмножества вышеупомянутых моделей. Следующий список содержит пакеты расширений для статистического программного обеспечения с открытым исходным кодом. р которые были специально разработаны для оценки гетероскедастичности. Первые три предназначены для моделей типа GARCH с детерминированной волатильностью; четвертый посвящен оценке стохастической волатильности.

ругарх: ARFIMA, среднее значение, внешние регрессоры и различные разновидности GARCH, с методами подгонки, прогноза, моделирования, вывода и построения графиков.^[5]
fГарх: Часть среды Rmetrics для преподавания «Финансовый инжиниринг и вычислительные финансы».
Байес: Байесовская оценка модели GARCH (1,1) с t-инновациями Стьюдента.^[6]
сточвол: Эффективные алгоритмы для полностью байесовской оценки моделей стохастической волатильности (SV) с помощью Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC) методы.^[7]^[8]

Многие численные методы были разработаны с течением времени и решили ценообразование финансовых активов, таких как опционы, с моделями стохастической волатильности. Недавно разработанное приложение - это модель локальной стохастической волатильности.^[9] Эта модель локальной стохастической волатильности дает лучшие результаты при оценке новых финансовых активов, таких как валютные опционы.

Существуют также альтернативные библиотеки статистической оценки на других языках, таких как Python:

PyFlux Включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и beta-t-EGARCH.

Смотрите также

Источники

Стохастическая волатильность и анализ средней дисперсии^{[постоянная мертвая ссылка]}, Хёнсок Ан, Пол Уилмотт, (2006).
Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью, С.Л. Хестон, (1993).
Арбитраж внутренней волатильности, Алиреза Джавахери, (2005).
Ускорение калибровки моделей стохастической волатильности, Килин, Фиодар (2006).

[1] Джим Гатерал (18 сентября 2006 г.). Поверхность волатильности: руководство для практикующего. Вайли. ISBN 978-0-470-06825-0.

[SVI-2] Дж. Гатераль, А. Жакье (2014). «Безарбитражные поверхности волатильности SVI». Количественные финансы. 14. arXiv:1204.0646. Дои:10.1080/14697688.2013.819986.

[3] PS Hagan, D Kumar, A. Lesniewski, DE Woodward (2002) Управление риском улыбки, Уилмотт, 84-108.

[4] Брукс, Крис (2014). Вводная эконометрика для финансов (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 461. ISBN 9781107661455.

[5] Галанос, Алексиос. "ругарх: Одномерные модели GARCH".

[6] Ардия, Дэвид; Hoogerheide, Леннарт Ф. (2010). "Байесовская оценка модели GARCH (1,1) с инновациями Стьюдента" (PDF). Журнал R. 2 (2): 41–47.

[7] Кастнер, Грегор (2016). «Работа со стохастической волатильностью временных рядов с использованием стохвола пакета R» (PDF). Журнал статистического программного обеспечения. 69 (5): 1–30. Дои:10.18637 / jss.v069.i05.

[8] Кастнер, Грегор; Фрювирт-Шнаттер, Сильвия (2014). «Стратегия взаимного переплетения анциллярности и достаточности (ASIS) для повышения MCMC оценки моделей стохастической волатильности» (PDF). Вычислительная статистика и анализ данных. 79: 408–423. Дои:10.1016 / j.csda.2013.01.002.

[9] ван дер Вейст, Роэль (2017). «Численные решения для стохастической модели локальной волатильности». Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т е Волатильность
Моделирование волатильности	Подразумеваемая волатильность Неустойчивость улыбка Кластеризация волатильности Местная волатильность Стохастическая волатильность Скачко-диффузионные модели АРКА И ГАРЧ
Волатильность торговли	Арбитраж волатильности Straddle Своп волатильности IVX VIX

Navigation