WikiDer > Матье группа М24

Mathieu group M24

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M24 это спорадическая простая группа из порядок

   210 · 33 ··· 11 · 23 = 244823040
≈ 2×108.

История и свойства

M24 является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье (1861, 1873). Это 5-переходный группа перестановок на 24 объекта. В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

Группы Матье можно строить по-разному. Первоначально Матье и другие сконструировали их как группы перестановок. Было трудно увидеть, что M24 действительно существовали, что его генераторы не просто генерировали переменную группу A24. Этот вопрос прояснился, когда Эрнст Витт построил M24 как группа автоморфизмов (симметрий) S (5,8,24) Система Штейнера W24Дизайн Витта). M24 - это группа перестановок, которые отображают каждый блок в этом проекте на какой-то другой блок. Подгруппы M23 И м22 тогда легко определяются как стабилизаторы одной точки и пары точек соответственно.

Конструкция как группа перестановок

M24 является подгруппой S24 который генерируется тремя перестановками:[1]

  • и
  • .

M24 также может быть порожден двумя перестановками:[2]

  • и

M24 из PSL (3,4)

M24 можно построить, начиная с PSL (3,4), проективная специальная линейная группа трехмерного пространства над конечным полем с 4 элементами (Диксон и Мортимер 1996С. 192–205). Эта группа, которую иногда называют M21, действует на проективная плоскость над полем F4, система S (2,5,21), называемая W21. Его 21 блок называется линии. Любые 2 линии пересекаются в одной точке.

M21 имеет 168 простых подгрупп порядка 360 и 360 простых подгрупп порядка 168. В большей проективная общая линейная группа PGL (3,4) оба набора подгрупп образуют классы однократной сопряженности, но в M21 оба набора разделены на 3 класса сопряженности. Подгруппы соответственно имеют 6 орбит, называемых гиперовалы, а орбиты 7, называемые Подпланы Fano. Эти наборы позволяют создавать новые блоки для более крупных систем Steiner. M21 нормально в PGL (3,4), из индекс 3. PGL (3,4) имеет внешний автоморфизм, индуцированный транспонированием сопряженных элементов в F4 (полевой автоморфизм). Таким образом, PGL (3,4) может быть расширен до группы PΓL (3,4) проективные полулинейные преобразования, которое является расщепленным расширением M21 посредством симметричная группа S3. PΓL (3,4) имеет вложение как максимальная подгруппа в M24.(Грисс 1998, п. 55)

Гиперовал не имеет трех коллинеарных точек. Подплоскость Фано также удовлетворяет подходящим условиям единственности.

К W21 добавим 3 новые точки и пусть автоморфизмы в PΓL (3,4), но не в M21 переставьте эти новые точки. Система S (3,6,22) W22 формируется добавлением только одной новой точки к каждой из 21 линии, а новые блоки представляют собой 56 гиперовалов, сопряженных относительно M21.

Система S (5,8,24) будет иметь 759 блоков, или октады. Добавьте все 3 новые точки к каждой строке буквы W21, разные новые точки для подплоскостей Фано в каждом из наборов по 120 и добавляем соответствующие пары новых точек ко всем гиперовалам. Это составляет все октады, кроме 210. Эти оставшиеся октады являются подмножествами W21 и есть симметричные различия пар линий. Существует множество способов расширить группу PΓL (3,4) до M24.

Группа автоморфизмов кода Голея

Группа M24 также перестановка группа автоморфизмов из двоичный код Голея W, т.е. группа перестановок отображения координат W себе. Кодовые слова естественным образом соответствуют подмножествам набора из 24 объектов. (В теории кодирования термин «двоичный код Голея» часто относится к более короткому связанному коду длины 23, а используемый здесь код длины 24 называется «расширенным двоичным кодом Голея».) Те подмножества, соответствующие кодовым словам с 8 или 12 равными координатами до 1 называются октады или же додекады соответственно. Октады - это блоки системы Штейнера S (5,8,24), а двоичный код Голея - это векторное пространство над полем F2 охватывается октадами системы Штейнера.

Простые подгруппы M23, М22, М12, И м11 можно определить как подгруппы в M24, стабилизаторы соответственно одной координаты, упорядоченной пары координат, додекады и додекады вместе с одной координатой.

Между группами Матье и более крупными Конвей группы, поскольку двоичный код Голея и Решетка пиявки оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в Группа монстров. Роберт Грисс относится к 20 спорадическим группам, обнаруженным в Монстре, как Счастливая семья, а группам Матье как первое поколение.

Многогранные симметрии

M24 можно построить из симметрий Кляйн квартика, дополненный (негеометрической) симметрией его погружения как малый кубокубооктаэдр.

M24 можно построить, исходя из симметрий Кляйн квартика (симметрии мозаика поверхности рода три), то есть PSL (2,7), которая может быть дополнена дополнительной перестановкой. Эту перестановку можно описать, начиная с разбиения квартики Клейна 56 треугольниками (с 24 вершинами - 24 точками, на которые действует группа), затем формируя квадраты некоторых из 2 треугольников и восьмиугольники из 6 треугольников, с добавленной перестановкой «поменять местами две конечные точки тех ребер исходной треугольной мозаики, которые делят квадраты и восьмиугольники пополам».[2] Это можно визуализировать с помощью раскраска треугольников - соответствующий тайлинг является топологически, но не геометрически т0,1{4, 3, 3} черепица, и может быть (многогранно) погруженный в евклидовом трехмерном пространстве как малый кубокубооктаэдр (который также имеет 24 вершины).[2]

Приложения

Теория темный самогон это частично предположительная связь между K3 поверхности И м24.

В Конвей группа Co1, то Группа Fischer Fi24, а Янко группа J4 каждая из них имеет максимальные подгруппы, являющиеся расширением группы Матье M24 группой 211. (Эти расширения не все одинаковы.)

Представления

Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу символов M24.

Группа Матье M24 имеет 5-кратное транзитивное представление перестановок в 24 точках. Соответствующее линейное представление над комплексными числами является суммой тривиального представления и 23-мерного неприводимого представления.

M24 имеет два представления перестановок ранга 3: одна на 276 = 1 + 44 + 231 пара точек (или дуад) со стабилизатором M22.2, и один на 1288 = 1 + 495 + 792 дуад, со стабилизатором M12.2.

Фактор 24-мерного линейного представления перестановочного представления его одномерным фиксированным подпространством дает 23-мерное представление, которое неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 3, и дает наименьшее точное представление над такими полями.

Уменьшение 24-мерного представления mod 2 дает действие на F24
2
. У этого есть инвариантные подпространства размерности 1, 12 (код Голея) и 23. Подкоторая дают два неприводимых представления размерности 11 над полем с 2 элементами.

Максимальные подгруппы

Цой (1972b) найдено 9 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M24. Кертис (1977) дал краткое доказательство результата, описывая 9 классов с точки зрения комбинаторных данных по 24 точкам: подгруппы фиксируют точку, дуаду, октаду, дуум, секстет, триаду, трио, проективную линию или октерн, как описано ниже. Тодд (1966) дал таблицы символов M24 (первоначально рассчитано Фробениус (1904)) и 8 максимальных подгрупп, которые были известны в то время.

M24 содержит неабелевы простые подгруппы 13 типов изоморфизма: пять классов группы A5, четыре класса PSL (3,2), два класса A6, два класса PSL (2,11), по одному классу A7, PSL (2,23), М11, PSL (3,4), А8, М12, М22, М23, И м24. А6 также указывается ниже как подфактор в подгруппе секстета.

Группа Матье действует на 2048 = 1 + 759 + 1288 точек кода Голея по модулю фиксированного пространства с 3-мя орбитами, на 4096 = 1 + 24 + 276 + 2024 + 1771 точки кокода с 5-ю орбитами, и подгруппы, фиксирующие нетривиальную точку кода или кокода, дают 6 из 9 классов максимальных подгрупп.

9 классов максимальных подгрупп следующие:

Подгруппа точек

M23, заказ 10200960

Подгруппа Duad

Дуада - это пара очков. Подгруппа, фиксирующая дуаду, естьM22: 2, порядок 887040, с орбитами 2 и 22.

Подгруппа Octad

Подгруппа, фиксирующая одну из 759 (= 3 · 11 · 23) октад кода Голея или системы Штейнера, является октадной группой 24: А8, порядок 322560, с орбитами размера 8 и 16. Линейная группа GL (4,2) имеет исключительный изоморфизм знакопеременной группе A8. Точечный стабилизатор О октады - это абелева группа порядка 16, экспонента 2, каждая из инволюций которой перемещает все 16 точек за пределы октады. Стабилизатор октада - это расщепленное расширение O на A8. (Томпсон 1983, стр. 197–208).

Подгруппа дуума

Дуум - это пара дополнительных додекад (наборов из 12 точек) в коде Голея. Подгруппа, фиксирующая дуаду, естьM12: 2, порядок 190080, переходный и импримитивный. Эта подгруппа была открыта Фробениусом. Подгруппа M12 действует по-разному на 2 наборах из 12, отражая внешний автоморфизм M12.

Подгруппа секстетов

26: (3.S6), заказ 138240: секстетная группа

Рассмотрим тетрада, любой набор из 4 точек в системе Штейнера W24. Октада определяется выбором пятой точки из оставшихся 20. Всего возможно 5 октад. Следовательно, любая тетрада определяет разбиение на 6 тетрад, называемых секстет, стабилизатор которого в M24 называется секстетная группа.

Всего тетрад 24 * 23 * 22 * ​​21/4! = 23 * 22 * ​​21. Разделив это на 6, мы получим количество секстетов: 23 * 11 * 7 = 1771. Кроме того, группа секстетов является подгруппой венок порядка 6! * (4!)6, единственные простые делители которого равны 2, 3 и 5. Теперь мы знаем простые делители | M24|, Дальнейший анализ определит порядок группы секстетов и, следовательно, | M24|.

24 точки удобно расположить в массив 6 на 4:

А Д И М К У

B F J N R V

C G K O S W

D H L P T X

Кроме того, удобно использовать элементы поля F4 пронумеровать строки: 0, 1, u, u2.

Группа секстетов имеет нормальную абелеву подгруппу ЧАС порядка 64, изоморфный гексакод, векторное пространство длины 6 и размерности 3 над F4. Ненулевой элемент в H выполняет двойные транспозиции в пределах 4 или 6 столбцов. Его действие можно рассматривать как добавление векторных координат к номерам строк.

Группа секстета - это расщепленное расширение H группой 3.S6удлинение штока). Вот пример внутри групп Матье, где простая группа (A6) это подчастный, а не подгруппа. 3.S6 это нормализатор в M24 подгруппы, порожденной р= (BCD) (FGH) (JKL) (NOP) (RST) (VWX), что можно представить как умножение номеров строк на u2. Подгруппа 3.A6 это централизатор из . Генераторы 3.А6 находятся:

(AEI) (BFJ) (CGK) (DHL) (RTS) (VWX) (вращение первых 3 столбцов)
(AQ) (BS) (CT) (DR) (EU) (FX) (GV) (HW)
(AUEIQ) (BXGKT) (CVHLR) (DWFJS) (произведение двух предыдущих)
(FGH) (JLK) (MQU) (NRV) (OSW) (PTX) (вращение последних 3 столбцов).

Нечетная перестановка столбцов, скажем (CD) (GH) (KL) (OP) (QU) (RV) (SX) (TW), затем порождает 3.S6.

Группа 3.А6 изоморфна подгруппе SL (3,4), образ которой в PSL (3,4) отмечен выше как гиперовальная группа.

Апплет Могги имеет функцию, которая отображает секстеты в цвете.

Подгруппа триады

Триада - это набор из 3 точек. Подгруппа, фиксирующая триаду, - это PSL (3,4): S3, заказ 120960, с размером орбит 3 и 21.

Подгруппа трио

Трио - это набор из 3 непересекающихся октад кода Голея. Подгруппа, фиксирующая трио, называется группой трио26: (PSL (2,7) x S3), порядок 64512, переходный и импримитивный.

Подгруппа проективных линий

Подгруппа, фиксирующая проективную линейную структуру на 24 точках, - это PSL (2,23), порядок 6072, действие которой дважды транзитивно. Эту подгруппу наблюдал Матье.

Подгруппа октерна

Октерн - это определенное разделение 24 точек на 8 блоков по 3. Подгруппа, фиксирующая октерн, - это группа октернов, изоморфная PSL.2(7) порядка 168, простая, транзитивная и импримитивная, последняя максимальная подгруппа группы M24 быть найденным.

Классы сопряженности

Всего 26 классов сопряженности. Все формы цикла сбалансированы в том смысле, что они остаются неизменными при изменении длины. k циклы на длину N/k циклы для некоторого целого числа N в зависимости от класса сопряженности.

ЗаказКол-во элементовСтруктура цикла
1 = 11124
2 = 211385 = 32 · 5 · 11 · 231828
31878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23212
3 = 3226688 = 27 · 7 · 11 · 231636
485760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 2338
4 = 22637560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 232444
1912680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23142244
2550240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 2346
5 = 54080384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 231454
6 = 2 · 310200960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 2312223262
10200960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 2364
7 = 75829120 = 29 · 32 · 5 · 11 · 231373эквивалент мощности
5829120 = 29 · 32 · 5 · 11 · 231373
8 = 2315301440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23122·4·82
10 = 2 · 512241152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 2322102
11 = 1122256640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 2312112
12 = 22 · 320401920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 232 ·4·6·12
20401920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23122
14 = 2 · 717487360 = 29 · 33 · 5 · 11 · 231·2·7·14эквивалент мощности
17487360 = 29 · 33 · 5 · 11 · 231·2·7·14
15 = 3 · 516321536 = 210 · 32 · 7 · 11 · 231·3·5·15эквивалент мощности
16321536 = 210 · 32 · 7 · 11 · 231·3·5·15
21 = 3 · 711658240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 233·21эквивалент мощности
11658240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 233·21
23 = 2310644480 = 210 · 33 · 5 · 7 · 111·23эквивалент мощности
10644480 = 210 · 33 · 5 · 7 · 111·23

Рекомендации

  1. ^ M24 в Groupprops
  2. ^ а б c Рихтер, Дэвид. "Как сделать Матье Группой M24". Дэвид А. Рихтер, доцент, политополог.

внешняя ссылка