WikiDer > Матрица трансформации

Transformation matrix

В линейная алгебра, линейные преобразования может быть представлен матрицы. Если ${ displaystyle T}$ отображение линейного преобразования ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ и ${ displaystyle { vec {x}}}$ это вектор столбца с участием ${ displaystyle n}$ записи, то

{ Displaystyle Т ({ vec {x}}) = mathbf {A} { vec {x}}}

для некоторых ${ Displaystyle м раз п}$ матрица ${ displaystyle A}$ , называется матрица преобразования из ${ displaystyle T}$ . Обратите внимание, что ${ displaystyle A}$ имеет ${ displaystyle m}$ ряды и ${ displaystyle n}$ столбцы, тогда как преобразование ${ displaystyle T}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ . Существуют альтернативные выражения матриц преобразования, включающие векторы-строки которые предпочитают некоторые авторы.

Использует

Матрицы допускают произвольные линейные преобразования для отображения в согласованном формате, пригодном для вычислений.^[1] Это также позволяет легко объединять преобразования (путем умножения их матриц).

Линейные преобразования - не единственные, которые могут быть представлены матрицами. Некоторые преобразования, нелинейные на n-мерном Евклидово пространство р^п можно представить в виде линейных преобразований на п+ 1-мерное пространство р^п+1. К ним относятся как аффинные преобразования (такие как перевод) и проективные преобразования. По этой причине матрицы преобразования 4 × 4 широко используются в 3D компьютерная графика. Эти п+ 1-мерные матрицы преобразования называются, в зависимости от их применения, матрицы аффинных преобразований, матрицы проективного преобразования, или в более общем смысле матрицы нелинейного преобразования. Что касается п-мерная матрица, п+ 1-мерную матрицу можно описать как расширенная матрица.

в физические науки, активное преобразование тот, который на самом деле меняет физическое положение система, и имеет смысл даже при отсутствии система координат тогда как пассивное преобразование изменение координатного описания физической системы (изменение основы). Различие между активным и пассивным трансформации это важно. По умолчанию трансформация, математики обычно означают активные преобразования, а физики может означать и то, и другое.

Другими словами, пассивный преобразование относится к описанию такой же объект, если смотреть с двух разных систем координат.

Нахождение матрицы преобразования

Если есть линейное преобразование ${ Displaystyle Т (х)}$ в функциональном виде легко определить матрицу преобразования А преобразовав каждый из векторов стандартная основа от Т, затем вставив результат в столбцы матрицы. Другими словами,

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {bmatrix} T ({ vec {e}} _ {1}) & T ({ vec {e}} _ {2}) & cdots & T ({ vec {e}} _ {n}) end {bmatrix}}}

Например, функция ${ Displaystyle Т (х) = 5х}$ является линейным преобразованием. Применяя описанный выше процесс (предположим, что п = 2 в данном случае) показывает, что

{ displaystyle T ({ vec {x}}) = 5 { vec {x}} = 5 mathbf {I} { vec {x}} = { begin {bmatrix} 5 && 0 0 && 5 end { bmatrix}} { vec {x}}}

Матричное представление векторов и операторов зависит от выбранного базиса; а аналогичный матрица будет результатом альтернативной основы. Тем не менее, метод поиска компонентов остается прежним.

Чтобы уточнить, вектор v может быть представлен в базисных векторах, ${ displaystyle E = [{ vec {e}} _ {1} { vec {e}} _ {2} ldots { vec {e}} _ {n}]}$ с координатами ${ Displaystyle [v] _ {E} = [v_ {1} v_ {2} ldots v_ {n}] ^ {T}}$ :

{ displaystyle { vec {v}} = v_ {1} { vec {e}} _ {1} + v_ {2} { vec {e}} _ {2} + ldots + v_ {n} { vec {e}} _ {n} = sum v_ {i} { vec {e}} _ {i} = E [v] _ {E}}

Теперь выразим результат матрицы преобразования A на ${ displaystyle { vec {v}}}$ , в данной базе:

{ Displaystyle { begin {выровненный} A ({ vec {v}}) & = A left ( sum v_ {i} { vec {e}} _ {i} right) = sum {v_ {i} A ({ vec {e}} _ {i})} = [A ({ vec {e}} _ {1}) A ({ vec {e}} _ {2}) ldots A ({ vec {e}} _ {n})] [v] _ {E} & = A cdot [v] _ {E} = [{ vec {e}} _ {1} { vec {e}} _ {2} ldots { vec {e}} _ {n}] { begin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & ldots & a_ {1, n } a_ {2,1} & a_ {2,2} & ldots & a_ {2, n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {n, 1} & a_ {n, 2 } & ldots & a_ {n, n} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n} end {bmatrix}} конец {выровнено}}}

В ${ displaystyle a_ {i, j}}$ элементы матрицы A определяются для данного базиса E путем применения A к каждому ${ displaystyle { vec {e}} _ {j} = [00 ldots (v_ {j} = 1) ldots 0] ^ {T}}$ , и наблюдая за вектором отклика

{ displaystyle A { vec {e}} _ {j} = a_ {1, j} { vec {e}} _ {1} + a_ {2, j} { vec {e}} _ {2 } + ldots + a_ {n, j} { vec {e}} _ {n} = sum a_ {i, j} { vec {e}} _ {i}.}

Это уравнение определяет желаемые элементы, ${ displaystyle a_ {i, j}}$ , j-го столбца матрицы A.^[2]

Собственный базис и диагональная матрица

Тем не менее, есть особая основа для оператора, в котором компоненты образуют диагональная матрица и, таким образом, сложность умножения уменьшается до n. Диагональность означает, что все коэффициенты ${ displaystyle a_ {i, j}}$ но ${ Displaystyle а_ {я, я}}$ нули, в сумме остается только один член ${ displaystyle sum a_ {i, j} { vec {e}} _ {i}}$ над. Сохранившиеся диагональные элементы, ${ displaystyle a_ {я, я}}$ , известны как собственные значения и обозначен ${ displaystyle lambda _ {i}}$ в определяющем уравнении, которое сводится к ${ displaystyle A { vec {e}} _ {i} = lambda _ {i} { vec {e}} _ {i}}$ . Полученное уравнение известно как уравнение на собственные значения.^[3] В собственные векторы и собственные значения выводятся из него через характеристический многочлен.

С участием диагонализация, это часто возможно к перевести на собственные базы и обратно.

Примеры в 2-х измерениях

Наиболее распространенные геометрические преобразования, которые сохраняют исходную точку, являются линейными, включая вращение, масштабирование, сдвиг, отражение и ортогональную проекцию; если аффинное преобразование не является чистым переносом, оно сохраняет некоторую точку фиксированной, и эту точку можно выбрать в качестве начала координат, чтобы преобразование было линейным. В двух измерениях линейные преобразования могут быть представлены с помощью матрицы преобразования 2 × 2.

Растяжка

Растяжение в плоскости xy - это линейное преобразование, которое увеличивает все расстояния в определенном направлении на постоянный коэффициент, но не влияет на расстояния в перпендикулярном направлении. Мы рассматриваем только растяжки по осям x и y. Растяжка по оси абсцисс имеет вид Икс' = kx; y ' = y для некоторой положительной постоянной k. (Обратите внимание, что если k > 1, то это действительно «натяжка»; если k <1, технически это «сжатие», но мы все равно называем это растяжкой. Кроме того, если k= 1, то преобразование является тождественным, т.е. не действует.)

Матрица, связанная с растяжкой на коэффициент k по оси x определяется выражением:

{ displaystyle { begin {bmatrix} k & 0 0 & 1 end {bmatrix}}}

Точно так же растяжка в раз k по оси ординат имеет вид Икс' = Икс; y ' = ты, поэтому матрица, связанная с этим преобразованием, имеет вид

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & k end {bmatrix}}}

Выдавливание

Если два вышеуказанных отрезка объединены с обратными значениями, тогда матрица преобразования представляет собой сжатие:

{ displaystyle { begin {bmatrix} k & 0 0 & 1 / k end {bmatrix}}.}

Квадрат со сторонами, параллельными осям, преобразуется в прямоугольник, имеющий ту же площадь, что и квадрат. Взаимное растяжение и сжатие оставляют площадь неизменной.

Вращение

Для вращение на угол θ по часовой стрелке о происхождении функциональная форма ${ Displaystyle х '= х соз тета + у грех тета}$ и ${ Displaystyle у '= - х грех тета + у соз тета}$ . В матричной форме это становится:^[4]

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta конец {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}

Аналогично для вращения против часовой стрелки о происхождении, функциональная форма ${ Displaystyle х '= х соз тета -у грех тета}$ и ${ Displaystyle у '= х грех тета + у соз тета}$ матричная форма:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta конец {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}

Эти формулы предполагают, что Икс ось указывает вправо, а y ось указывает вверх.

Стрижка

Для картирование сдвига (визуально похож на косой), есть две возможности.

Сдвиг параллельно Икс ось имеет ${ displaystyle x '= x + ky}$ и ${ displaystyle y '= y}$ . В матричной форме это становится:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & k 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}

Сдвиг параллельно y ось имеет ${ displaystyle x '= x}$ и ${ displaystyle y '= y + kx}$ , имеющий матричный вид:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 k & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}

Отражение

Для размышления о линии, проходящей через начало координат, пусть ${ Displaystyle scriptstyle { vec {l}} = (l_ {x}, l_ {y})}$ быть вектор в направлении линии. Затем используйте матрицу преобразования:

{ displaystyle mathbf {A} = { frac {1} { lVert { vec {l}} rVert ^ {2}}} { begin {bmatrix} l_ {x} ^ {2} -l_ { y} ^ {2} & 2l_ {x} l_ {y} 2l_ {x} l_ {y} & l_ {y} ^ {2} -l_ {x} ^ {2} end {bmatrix}}}

Ортогональная проекция

Чтобы спроецировать вектор ортогонально на линию, проходящую через начало координат, пусть ${ displaystyle { vec {u}} = (u_ {x}, u_ {y})}$ быть вектор в направлении линии. Затем используйте матрицу преобразования:

{ displaystyle mathbf {A} = { frac {1} { lVert { vec {u}} rVert ^ {2}}} { begin {bmatrix} u_ {x} ^ {2} & u_ {x } u_ {y} u_ {x} u_ {y} & u_ {y} ^ {2} end {bmatrix}}}

Как и в случае с отражениями, ортогональная проекция на линию, не проходящую через начало координат, является аффинным, а не линейным преобразованием.

Параллельные проекции также являются линейными преобразованиями и могут быть представлены просто матрицей. Однако перспективных проекций нет, и чтобы представить их в виде матрицы, однородные координаты может быть использован.

Примеры в 3D компьютерной графике

Вращение

В матрица для поворота угол θ вокруг любой оси, определяемой единичный вектор (л,м,п) является ^[5]

{ displaystyle { begin {bmatrix} ll (1- cos theta) + cos theta & ml (1- cos theta) -n sin theta & nl (1- cos theta) + m sin theta lm (1- cos theta) + n sin theta & mm (1- cos theta) + cos theta & nm (1- cos theta) -l sin theta ln (1- cos theta) -m sin theta & mn (1- cos theta) + l sin theta & nn (1- cos theta) + cos theta end {bmatrix} }.}

Отражение

Чтобы отразить точку через плоскость ${ displaystyle ax + by + cz = 0}$ (который проходит через начало координат), можно использовать ${ Displaystyle mathbf {A} = mathbf {I} -2 mathbf {NN} ^ {T}}$ , где ${ displaystyle mathbf {I}}$ - единичная матрица 3x3 и ${ displaystyle mathbf {N}}$ это трехмерный единичный вектор для вектора нормали к плоскости. Если L2 норма из ${ displaystyle a, b,}$ и ${ displaystyle c}$ равна единице, матрица преобразования может быть выражена как:

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {bmatrix} 1-2a ^ {2} & - 2ab & -2ac - 2ab & 1-2b ^ {2} & - 2bc - 2ac & -2bc & 1-2c ^ { 2} end {bmatrix}}}

Обратите внимание, что это частные случаи Отражение домохозяина в двух и трех измерениях. Отражение относительно линии или плоскости, которая не проходит через начало координат, не является линейным преобразованием - это аффинное преобразование - как матрицу аффинного преобразования 4x4, это может быть выражено следующим образом (при условии, что нормаль является единичным вектором):

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' z ' 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1-2a ^ {2} & - 2ab & -2ac & -2ad -2ab & 1-2b ^ {2} & - 2bc & -2bd - 2ac & -2bc & 1-2c ^ {2} & - 2cd 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y z 1 end {bmatrix}}}

где ${ Displaystyle d = mathbf {-p} cdot mathbf {N}}$ в какой-то момент ${ displaystyle mathbf {p}}$ на самолете.

Если 4-й компонент вектора равен 0 вместо 1, то отражается только направление вектора, а его длина остается неизменной, как если бы он был отражен через параллельную плоскость, проходящую через начало координат. Это полезное свойство, поскольку оно позволяет преобразовывать как позиционные векторы, так и нормальные векторы с одной и той же матрицей. Увидеть однородные координаты и аффинные преобразования ниже для дальнейшего объяснения.

Составление и инвертирование преобразований

Одна из основных причин использования матриц для представления линейных преобразований заключается в том, что преобразования могут быть легко составлен и перевернутый.

Композиция выполнена матричное умножение. Векторы строк и столбцов обрабатываются матрицами, строками справа и столбцами слева. Поскольку текст читается слева направо, при составлении матриц преобразования предпочтительнее использовать векторы-строки:

Если А и B - матрицы двух линейных преобразований, то эффект применения первого А а потом B в вектор-строку Икс дан кем-то:

{ displaystyle ({ vec {x}} mathbf {A}) mathbf {B} = { vec {x}} ( mathbf {AB}).}

Другими словами, матрица комбинированного преобразования А с последующим B это просто продукт отдельных матриц.

Когда А является обратимая матрица есть матрица А⁻¹ который представляет преобразование, которое "отменяет" А так как его состав с А это единичная матрица. В некоторых практических приложениях инверсия может быть вычислена с использованием общих алгоритмов инверсии или путем выполнения обратных операций (которые имеют очевидную геометрическую интерпретацию, например, вращение в противоположном направлении), а затем их составление в обратном порядке.

Другие виды преобразований

Аффинные преобразования

Эффект применения различных 2D матриц аффинного преобразования на единичном квадрате. Обратите внимание, что матрицы отражения являются частными случаями матрицы масштабирования.

Воспроизвести медиа

Аффинные преобразования на 2D-плоскости могут выполняться в трех измерениях. Перенос осуществляется срезанием параллельно плоскости zy, а вращение - вокруг оси z.

Представлять аффинные преобразования с матрицами мы можем использовать однородные координаты. Это означает представление 2-вектора (Икс, y) как 3-вектор (Икс, y, 1), и аналогично для более высоких измерений. Используя эту систему, перевод можно выразить умножением матриц. Функциональная форма ${ displaystyle x '= x + t_ {x}; y' = y + t_ {y}}$ становится:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & t_ {x} 0 & 1 & t_ {y} 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y 1 end {bmatrix}}.}

Все обычные линейные преобразования включены в набор аффинных преобразований и могут быть описаны как упрощенная форма аффинных преобразований. Следовательно, любое линейное преобразование также может быть представлено общей матрицей преобразования. Последнее достигается путем расширения соответствующей матрицы линейного преобразования на одну строку и столбец, заполняя лишнее пространство нулями, за исключением правого нижнего угла, который должен быть установлен на 1. Например, то против часовой стрелки матрица вращения сверху становится:

{ displaystyle { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}

При использовании матриц преобразования, содержащих однородные координаты, переводы становятся линейными и, таким образом, могут легко смешиваться со всеми другими типами преобразований. Причина в том, что реальная плоскость отображается на ш = 1 плоскость в реальном проективном пространстве, и поэтому перевод в реальном Евклидово пространство можно представить как сдвиг в реальном проективном пространстве. Хотя перевод не-линейное преобразование в двумерном или трехмерном евклидовом пространстве, описываемом декартовыми координатами (то есть его нельзя комбинировать с другими преобразованиями при сохранении коммутативность и другие свойства), это становитсяв трехмерном или четырехмерном проективном пространстве, описываемом однородными координатами, простое линейное преобразование (a срезать).

Более аффинные преобразования могут быть получены с помощью сочинение двух или более аффинных преобразований. Например, учитывая перевод Т ' с вектором ${ Displaystyle (т '_ {х}, т' _ {у}),}$ вращение р на угол θ против часовой стрелки, масштабирование S с факторами ${ displaystyle (s_ {x}, s_ {y})}$ и перевод Т вектора ${ displaystyle (t_ {x}, t_ {y}),}$ результат M из T'RST является:^[6]

{ displaystyle { begin {bmatrix} s_ {x} cos theta & -s_ {y} sin theta & t_ {x} s_ {x} cos theta -t_ {y} s_ {y} sin theta + t '_ {x} s_ {x} sin theta & s_ {y} cos theta & t_ {x} s_ {x} sin theta + t_ {y} s_ {y} cos theta + t '_ {y} 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}

При использовании аффинных преобразований однородный компонент координатного вектора (обычно называемый ш) никогда не будет изменен. Поэтому можно с уверенностью предположить, что он всегда равен 1, и игнорировать его. Однако это неверно при использовании перспективных проекций.

Перспективная проекция

Сравнение эффектов применения матриц 2D аффинного и перспективного преобразования на единичном квадрате.

Другой тип трансформации, важный в 3D компьютерная графика, это перспективная проекция. В то время как параллельные проекции используются для проецирования точек на плоскость изображения по параллельным линиям, перспективная проекция проецирует точки на плоскость изображения по линиям, исходящим из одной точки, называемой центром проекции. Это означает, что объект имеет меньшую проекцию, когда он находится далеко от центра проекции, и большую проекцию, когда он находится ближе (см. Также взаимная функция).

В простейшей перспективной проекции начало координат используется в качестве центра проекции, а плоскость - в ${ displaystyle z = 1}$ как плоскость изображения. Функциональная форма этого преобразования тогда ${ displaystyle x '= x / z}$ ; ${ displaystyle y '= y / z}$ . Мы можем выразить это в однородные координаты так как:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {c} y_ {c} z_ {c} w_ {c} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y z 1 end {bmatrix}}}

После проведения матричное умножение, однородная составляющая ${ displaystyle w_ {c}}$ будет равно значению ${ displaystyle z}$ а остальные три не изменятся. Следовательно, чтобы отобразить реальную плоскость, мы должны выполнить однородный разрыв или разделение перспективы разделив каждый компонент на ${ displaystyle w_ {c}}$ :

{ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' z ' 1 end {bmatrix}} = { frac {1} {w_ {c}}} { begin {bmatrix} x_ { c} y_ {c} z_ {c} w_ {c} end {bmatrix}}}

Более сложные перспективные проекции могут быть составлены путем комбинирования этой проекции с поворотами, масштабами, перемещениями и сдвигами для перемещения плоскости изображения и центра проекции в нужное место.

Смотрите также

использованная литература

^ Нежный, Джеймс Э. (2007). «Матричные преобразования и факторизации». Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике. Springer. ISBN 9780387708737.CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка на сайт)
^ Неаринг, Джеймс (2010). «Глава 7.3 Примеры операторов» (PDF). Математические инструменты для физики. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января, 2012.
^ Неаринг, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF). Математические инструменты для физики. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января, 2012.
^ http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf
^ Шимански, Джон Э. (1989). Основы математики для инженеров-электронщиков: модели и приложения. Тейлор и Фрэнсис. п. 154. ISBN 0278000681.
^ Седрик Жюль (25 февраля 2015 г.). «Запекание матриц 2D трансформации».

внешние ссылки

Страница матрицы Практические примеры в Пов-луч
Справочная страница - Вращение осей
Калькулятор линейного преобразования
Апплет преобразования - Создавать матрицы из 2D преобразований и наоборот.
Преобразование координат при вращении в 2D
Excel Fun - создавайте трехмерную графику из электронной таблицы

[1] Нежный, Джеймс Э. (2007). «Матричные преобразования и факторизации». Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике. Springer. ISBN 9780387708737.CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка на сайт)

[2] Неаринг, Джеймс (2010). «Глава 7.3 Примеры операторов» (PDF). Математические инструменты для физики. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января, 2012.

[3] Неаринг, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF). Математические инструменты для физики. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января, 2012.

[4] ttp://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf

[5] Шимански, Джон Э. (1989). Основы математики для инженеров-электронщиков: модели и приложения. Тейлор и Фрэнсис. п. 154. ISBN 0278000681.

[6] Седрик Жюль (25 февраля 2015 г.). «Запекание матриц 2D трансформации».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т е Линейная алгебра
Базовые концепты	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Ранг Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Векторное пространство конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Подпрограммы базовой линейной алгебры (BLAS) Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Викибук Викиверситет

v т е Матрица классы
Явно ограниченные записи	(0,1) Альтернант Антидиагональный Антиэрмитский Антисимметричный Стрелка Группа Двухдиагональный Двоичный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный Булево Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамар Копозитивный По диагонали Диагональ Дискретное преобразование Фурье Элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Ганкель Эрмитский Hessenberg Полый Целое число Логический Марков Metzler Моном Мур Неотрицательный Разделенный Паризи Пятидиагональный Перестановка Персимметричный Полиномиальный Положительный Кватернионный Знак Подпись Косоэрмитский Кососимметричный Горизонт Разреженный Сильвестр Симметричный Теплиц Треугольная Трехдиагональный Унитарный Vandermonde Уолш Z
Постоянный	Обмен Гильберта Идентичность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер сдвиг Нуль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Сходящийся Дефектный Диагонализуемый Гурвиц Положительно определенный Стабильность Стилтьес
Удовлетворительные условия на продукты или обратное	Конгруэнтный Идемпотентный или Проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный Ортогональный Ортонормированный Единственное число Унимодулярный Унипотентный Полностью унимодулярный Взвешивание
Со специальными приложениями	Приспосабливать Альтернативный знак Дополненный Безу Карлеман Картан Циркулянт Кофактор Коммутация Спутанность сознания Coxeter Оскорбительный Расстояние Дублирование Устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамиан Гессен Домохозяин Якобиан Момент Расплачиваться Выбирать Случайный Вращение Зейферт Сдвиг Сходство Симплектический Полностью положительный Трансформация Wedderburn X – Y – Z
Используется в статистика	Бернулли Центрирование Корреляция Ковариация дизайн Дисперсия Дважды стохастический Информация Fisher Шапка Точность Стохастик Переход
Используется в теория графов	Смежность Двуличность Степень Эдмондс Заболеваемость Лапласиан Зайдельская смежность Косая смежность Тутте
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяси – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткий ассоциативный Гамма Гелл-Манн Гамильтониан Нерегулярный Перекрытие S Состояние перехода Замена Z (химия)
Связанные термины	Иорданская каноническая форма Линейная независимость Матрица экспоненциальная Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Кватернионная матрица Форма эшелона строки Вронскиан
Список матриц Категория: Матрицы

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Матрица трансформации

Содержание

Использует

Нахождение матрицы преобразования

Собственный базис и диагональная матрица

Примеры в 2-х измерениях

Растяжка

Выдавливание

Вращение

Стрижка

Отражение

Ортогональная проекция

Примеры в 3D компьютерной графике

Вращение

Отражение

Составление и инвертирование преобразований

Другие виды преобразований

Аффинные преобразования

Перспективная проекция

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки