WikiDer > K-теория

В математика, K-теория грубо говоря, изучение звенеть создано векторные пакеты через топологическое пространство или же схема. В алгебраическая топология, это теория когомологий известный как топологическая K-теория. В алгебра и алгебраическая геометрия, он упоминается как алгебраическая K-теория. Это также фундаментальный инструмент в области операторные алгебры. Это можно рассматривать как изучение определенных видов инварианты большого матрицы.^[1]

K-теория предполагает построение семейств K-функторы которые отображают топологические пространства или схемы в ассоциированные кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами группы в алгебраической топологии причина этого функториального отображения состоит в том, что легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных с помощью подхода K-теории, включают: Теорема Гротендика – Римана – Роха., Периодичность Ботта, то Теорема Атьи – Зингера об индексе, а Операции Адамса.

В физика высоких энергий, K-теория и в частности скрученная K-теория появились в Теория струн типа II где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, Напряженности поля Рамона – Рамона а также некоторые спиноры на обобщенные комплексные многообразия. В физика конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологические изоляторы, сверхпроводники и стабильный Поверхности Ферми. Подробнее см. К-теория (физика).

Завершение Гротендика

Завершение Гротендика абелев моноид в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелевого моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу с помощью этой универсальной конструкции. Учитывая абелев моноид ${ Displaystyle (А, + ')}$ позволять ${ displaystyle sim}$ быть отношением на ${ displaystyle A ^ {2}}$ определяется

${ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}) sim (b_ {1}, b_ {2})}$

если существует ${ displaystyle c in A}$ такой, что ${ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}$ Тогда набор ${ Displaystyle G (A) = A ^ {2} / sim}$ имеет структуру группа ${ Displaystyle (Г (А), +)}$ куда:

${ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} +' Би 2})]}$

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные различия элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрите некоторые классы эквивалентности абелевого моноида ${ Displaystyle (А, +)}$. Здесь мы будем обозначать единичный элемент через ${ displaystyle 0}$. Первый, ${ Displaystyle (0,0) sim (п, п)}$ для любого ${ displaystyle n in A}$ поскольку мы можем установить ${ displaystyle c = 0}$ и применим уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить ${ Displaystyle п = п}$. Из этого следует

${ displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0}$

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в ${ Displaystyle G (A)}$. Это должно дать нам подсказку, что мы должны думать о классах эквивалентности. ${ Displaystyle [(а, б)]}$ как формальные различия ${ displaystyle a-b}$. Еще одно полезное наблюдение - инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

${ Displaystyle (а, Ь) сим (а + к, Ь + к)}$ для любого ${ displaystyle k in A}$

Завершение Гротендика можно рассматривать как функтор ${ Displaystyle G: mathbf {AbMon} to mathbf {AbGrp}}$, и он обладает тем свойством, что он сопряжен слева с соответствующим забывчивый функтор ${ Displaystyle U: mathbf {AbGrp} to mathbf {AbMon}}$. Это означает, что с учетом морфизма ${ Displaystyle phi: от A к U (B)}$ абелевого моноида ${ displaystyle A}$ в основной абелев моноид абелевой группы ${ displaystyle B}$, существует единственный морфизм абелевой группы ${ Displaystyle G (A) к B}$.

Пример для натуральных чисел

Наглядным примером является завершение Гротендиком ${ Displaystyle mathbb {N}}$. Мы видим, что ${ Displaystyle G (( mathbb {N}, +)) = ( mathbb {Z}, +)}$. Для любой пары ${ Displaystyle (а, б)}$ мы можем найти минимального представителя ${ Displaystyle (а ', б')}$ с помощью инвариантности относительно масштабирования. Например, из масштабной инвариантности видно, что

${ Displaystyle (4,6) сим (3,5) сим (2,4) сим (1,3) сим (0,2)}$

В общем, если установить ${ Displaystyle к = мин {а, Ь }}$ тогда мы обнаруживаем, что

${ Displaystyle (а, Ь) сим (а-к, б-к)}$ который имеет форму ${ displaystyle (c, 0)}$ или же ${ displaystyle (0, d)}$

Это показывает, что мы должны думать о ${ displaystyle (а, 0)}$ как положительные целые числа и ${ displaystyle (0, b)}$ как отрицательные целые числа.

Определения

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств

Учитывая компактный Пространство Хаусдорфа ${ displaystyle X}$ рассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над ${ displaystyle X}$, обозначенный ${ displaystyle { text {Vect}} (X)}$ и пусть класс изоморфизма векторного расслоения ${ displaystyle pi: E to X}$ быть обозначенным ${ displaystyle [E]}$. Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо себя ведут относительно прямые суммы, мы можем записать эти операции на классах изоморфизма как

${ displaystyle [E] oplus [E '] = [E oplus E']}$

Должно быть ясно, что ${ displaystyle ({ text {Vect}} (X), oplus)}$ является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {0} times X to X}$. Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелевого моноида. Это называется K-теорией ${ displaystyle X}$ и обозначается ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$.

Мы можем использовать Теорема Серра – Свона. и некоторая алгебра, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций ${ displaystyle C ^ {0} (X; mathbb {C})}$ в качестве проективные модули. Тогда их можно отождествить с идемпотент матрицы в некотором кольце матриц ${ Displaystyle M_ {п раз п} (C ^ {0} (X; mathbb {C}))}$. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид ${ displaystyle { textbf {Idem}} (X)}$. Его завершение по Гротендику еще называют ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$. Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств исходит из Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха, что делает его очень доступным. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей - это вычисление группы ${ displaystyle K ^ {0}}$ для сфер ${ Displaystyle S ^ {п}}$^{[2]стр. 51-110}.

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии

Аналогичная конструкция возможна при рассмотрении векторных расслоений в алгебраическая геометрия. Для Схема Нётера ${ displaystyle X}$ есть набор ${ displaystyle { text {Vect}} (X)}$ всех классов изоморфизма алгебраические векторные расслоения на ${ displaystyle X}$. Тогда, как и раньше, прямая сумма ${ displaystyle oplus}$ классов изоморфизмов векторных расслоений корректно определен, давая абелев моноид ${ displaystyle ({ text {Vect}} (X), oplus)}$. Затем группа Гротендика ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$ определяется применением конструкции Гротендика на этом абелевом моноиде.

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но для любой нётеровой схемы существует альтернативная конструкция. ${ displaystyle X}$. Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентные пучки ${ displaystyle operatorname {Coh} (X)}$ мы можем отказаться от отношения ${ displaystyle [{ mathcal {E}}] = [{ mathcal {E}} '] + [{ mathcal {E}}' ']}$ если есть короткая точная последовательность

${ displaystyle 0 to { mathcal {E}} ' to { mathcal {E}} to { mathcal {E}}' ' to 0.}$

Это дает группе Гротендика ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ который изоморфен ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$ если ${ displaystyle X}$ гладко. Группа ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ является особенным, потому что существует также кольцевая структура: мы определяем ее как

${ displaystyle [{ mathcal {E}}] cdot [{ mathcal {E}} '] = sum (-1) ^ {k} left [ operatorname {Tor} _ {k} ^ {{{ mathcal {O}} _ {X}} ({ mathcal {E}}, { mathcal {E}} ') right].}$

С использованием Теорема Гротендика – Римана – Роха.у нас есть это

${ displaystyle operatorname {ch}: K_ {0} (X) otimes mathbb {Q} to A (X) otimes mathbb {Q}}$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ за теория пересечений.^[3]

Ранняя история

Можно сказать, что предмет начинается с Александр Гротендик (1957), который использовал его для формулировки своего Теорема Гротендика – Римана – Роха.. Название происходит от немецкого Klasse, что означает «класс».^[4] Гротендику нужно было работать с когерентные пучки на алгебраическое многообразие Икс. Вместо того, чтобы работать напрямую со связками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие группы, при условии отношения, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Полученная группа называется К (Х) когда только локально свободные связки используются, или G (X) когда все связные связки. Любая из этих двух конструкций называется Группа Гротендик; К (Х) имеет когомологический поведение и G (X) имеет гомологический поведение.

Если Икс это гладкий сорт, эти две группы одинаковы. Если это гладко аффинное разнообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому группа имеет альтернативное определение.

В топология, применяя ту же конструкцию к векторные пакеты, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определенный К (Х) для топологическое пространство Икс в 1959 г., и используя Теорема периодичности Ботта они сделали его основой необычная теория когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве Теорема Атьи – Зингера об индексе (около 1962 г.). Кроме того, такой подход привел к некоммутативный K-теория для C * -алгебры.

Уже в 1955 г. Жан-Пьер Серр использовал аналогию с векторные пакеты с проективные модули сформулировать Гипотеза Серра, который утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцо многочленов является свободный; это утверждение верно, но оно было подтверждено только 20 лет спустя. (Теорема Свона это еще один аспект этой аналогии.)

События

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. К. Уайтхед и другие о том, что позже стало известно как Кручение белой головки.

Затем последовал период, когда существовали различные частичные определения функторы высшей K-теории. Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниел Квиллен с помощью теория гомотопии в 1969 и 1972 гг. Вариант также был дан Фридхельм Вальдхаузен чтобы изучить алгебраическая K-теория пространств, что связано с изучением псевдоизотопий. Многие современные исследования по высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивационные когомологии.

Соответствующие конструкции с использованием вспомогательного квадратичная форма получил общее название L-теория. Это основной инструмент теория хирургии.

В теория струн, K-теория классификации Рамон-Рамонское месторождение сильные стороны и заряды стабильной D-браны был впервые предложен в 1997 году.^[5]

Примеры и свойства

K₀ поля

Самый простой пример группы Гротендика - группа Гротендика точки ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {F})}$ для поля ${ Displaystyle mathbb {F}}$. Поскольку векторное расслоение над этим пространством - это просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма ${ Displaystyle mathbb {N}}$ соответствующая размерности векторного пространства. Легко показать, что группа Гротендика тогда ${ Displaystyle mathbb {Z}}$.

K₀ артиновой алгебры над полем

Одно важное свойство группы Гротендика Схема Нётера ${ displaystyle X}$ состоит в том, что он инвариантен относительно редукции, поэтому ${ Displaystyle К (Х) = К (Икс _ { текст {красный}})}$.^[6] Следовательно, группа Гротендика любого Артиниан ${ Displaystyle mathbb {F}}$-алгебра - это прямая сумма копий ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, по одному для каждой связной компоненты своего спектра. Например,

${ displaystyle K_ {0} left ({ text {Spec}} left ({ frac { mathbb {F} [x]} {(x ^ {9})}} times mathbb {F}) right) right) = mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$

K₀ проективного пространства

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление ${ Displaystyle К ( mathbb {P} ^ {n})}$ для проективного пространства над полем. Это потому, что числа пересечения проективного ${ displaystyle X}$ можно вычислить путем вложения ${ displaystyle i: X hookrightarrow mathbb {P} ^ {n}}$ и используя формулу push pull ${ Displaystyle я ^ {*} ([я _ {*} { mathcal {E}}] cdot [я _ {*} { mathcal {F}}])}$. Это дает возможность делать конкретные расчеты с элементами в ${ Displaystyle К (Х)}$ без необходимости явно знать его структуру, поскольку^[7]

${ Displaystyle К ( mathbb {P} ^ {n}) = { frac { mathbb {Z} [T]} {(T ^ {n + 1})}}}$

Один метод определения группы гротендика ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ происходит от его расслоения как

${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} = mathbb {A} ^ {n} coprod mathbb {A} ^ {n-1} coprod cdots coprod mathbb {A} ^ {0} }$

поскольку группа Гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, и пересечение ${ Displaystyle mathbb {A} ^ {n-k_ {1}}, mathbb {A} ^ {n-k_ {2}}}$ в целом

${ displaystyle mathbb {A} ^ {n-k_ {1}} cap mathbb {A} ^ {n-k_ {2}} = mathbb {A} ^ {n-k_ {1} -k_ { 2}}}$

за ${ Displaystyle к_ {1} + к_ {2} leq n}$.

K₀ проективного расслоения

Другая важная формула для группы Гротендика - формула проективного расслоения:^[8] задано векторное расслоение ранга r ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ по нётеровой схеме ${ displaystyle X}$, группа Гротендика проективного расслоения ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}}) = operatorname {Proj} ( operatorname {Sym} ^ { bullet} ({ mathcal {E}} ^ { vee}))}$ это бесплатный ${ Displaystyle К (Х)}$-модуль ранга р с основанием ${ Displaystyle 1, xi, точки, xi ^ {п-1}}$. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика ${ Displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {F}} ^ {п}}$. Это позволяет вычислить ${ displaystyle K_ {0}}$ или поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика. ${ Displaystyle К ( mathbb {P} ^ {n})}$ наблюдая это проективное расслоение над полем ${ Displaystyle mathbb {F}}$.

K₀ особых пространств и пространств с изолированными факторособенностями

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с незначительными особенностями основан на оценке разницы между ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$ и ${ displaystyle K_ {0} (X)}$, что связано с тем, что каждое векторное расслоение можно эквивалентно описать как когерентный пучок. Это делается с помощью группы Гротендика из Категория сингулярности ${ displaystyle D_ {sg} (X)}$^[9][10] из производная некоммутативная алгебраическая геометрия. Он дает длинную точную последовательность, начиная с

${ Displaystyle cdots к K ^ {0} (X) к K_ {0} (X) к K_ {sg} (X) to 0}$

откуда берутся высшие термины высшая K-теория. Отметим, что векторные расслоения на особой ${ displaystyle X}$ задаются векторными расслоениями ${ displaystyle E to X_ {sm}}$ на ровном месте ${ displaystyle X_ {sm} hookrightarrow X}$. Это позволяет вычислить группу Гротендика на весовых проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные фактор-особенности. В частности, если эти особенности имеют группы изотропии ${ displaystyle G_ {i}}$ тогда карта

${ displaystyle K ^ {0} (X) to K_ {0} (X)}$

инъективно и коядро аннилилируется ${ Displaystyle { текст {lcm}} (| G_ {1} |, ldots, | G_ {k} |) ^ {n-1}}$ за ${ Displaystyle п = тусклый X}$^{[10]стр. 3}.

K₀ гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой ${ displaystyle C}$ группа Гротендика

${ displaystyle K_ {0} (C) = mathbb {Z} oplus { text {Pic}} (C)}$

за Группа Пикард из ${ displaystyle C}$. Это следует из Спектральная последовательность Брауна-Герстена-Квиллена^{[11]стр.72} из алгебраическая K-теория. Для обычная схема конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность

${ Displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = coprod _ {x in X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) Rightarrow K _ {- pq} (X )}$

за ${ Displaystyle X ^ {(p)}}$ набор коразмерности ${ displaystyle p}$ точек, что означает набор подсхем ${ displaystyle x: Y to X}$ коразмерности ${ displaystyle p}$, и ${ Displaystyle к (х)}$ поле алгебраических функций подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством^{[11]стр. 80}

${ Displaystyle E_ {2} ^ {p, -p} cong { text {CH}} ^ {p} (X)}$

для чау-ринга ${ displaystyle X}$, по существу давая вычисление ${ displaystyle K_ {0} (C)}$. Обратите внимание, потому что ${ displaystyle C}$ не имеет коразмерности ${ displaystyle 2}$ точками, единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются ${ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}}$, следовательно

${ displaystyle { begin {align} E _ { infty} ^ {1, -1} cong E_ {2} ^ {1, -1} & cong { text {CH}} ^ {1} (C ) E _ { infty} ^ {0,0} cong E_ {2} ^ {0,0} & cong { text {CH}} ^ {0} (C) end {align}}}$

В фильтрация кониво затем можно использовать для определения ${ displaystyle K_ {0} (C)}$ как желаемую явную прямую сумму, поскольку она дает точную последовательность

${ Displaystyle 0 к F ^ {1} (K_ {0} (X)) к K_ {0} (X) к K_ {0} (X) / F ^ {1} (K_ {0} ( X)) к 0}$

где левый член изоморфен ${ displaystyle { text {CH}} ^ {1} (C) cong { text {Pic}} (C)}$ а правый член изоморфен ${ displaystyle CH ^ {0} (C) cong mathbb {Z}}$. С ${ displaystyle { text {Ext}} _ { text {Ab}} ^ {1} ( mathbb {Z}, G) = 0}$, у нас есть последовательность абелевых групп над расщеплениями, задающая изоморфизм. Обратите внимание, что если ${ displaystyle C}$ гладкая проективная кривая рода ${ displaystyle g}$ над ${ Displaystyle mathbb {C}}$, тогда

${ displaystyle K_ {0} (C) cong mathbb {Z} oplus ( mathbb {C} ^ {g} / mathbb {Z} ^ {2g})}$

Более того, описанная выше техника с использованием производной категории особенностей для изолированных особенностей может быть распространена на изолированные Коэн-Маколей особенности, дающие методы вычисления группы Гротендика любой сингулярной алгебраической кривой. Это связано с тем, что редукция дает в общем гладкую кривую, а все особенности - Коэна-Маколея.

Приложения

Виртуальные пакеты

Одно из полезных приложений группы Гротендика - определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств ${ Displaystyle Y hookrightarrow X}$ тогда есть короткая точная последовательность

${ displaystyle 0 to Omega _ {Y} to Omega _ {X} | _ {Y} to C_ {Y / X} to 0}$

куда ${ displaystyle C_ {Y / X}}$ конормальное расслоение ${ displaystyle Y}$ в ${ displaystyle X}$. Если у нас есть особое пространство ${ displaystyle Y}$ встроен в гладкое пространство ${ displaystyle X}$ определим виртуальное конормальное расслоение как

${ Displaystyle [ Omega _ {X} | _ {Y}] - [ Omega _ {Y}]}$

Еще одно полезное применение виртуальных расслоений - это определение виртуального касательного расслоения пересечения пространств: Пусть ${ Displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} subset X}$ - проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Затем мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения ${ displaystyle Z = Y_ {1} cap Y_ {2}}$ в качестве

${ displaystyle [T_ {Z}] ^ {vir} = [T_ {Y_ {1}}] | _ {Z} + [T_ {Y_ {2}}] | _ {Z} - [T_ {X}] | _ {Z}.}$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.^[12]

Черн персонажи

Классы Черна можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологическая K-теория пространства до (пополнения) его рациональных когомологий. Для линейного пакета L, характер Черна ch определяется формулой

${ displaystyle operatorname {ch} (L) = exp (c_ {1} (L)): = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}$

В более общем смысле, если ${ Displaystyle V = L_ {1} oplus dots oplus L_ {п}}$ является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Черна ${ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$ характер Черна определяется аддитивно

${ displaystyle operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + dots + e ^ {x_ {n}}: = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + dots + x_ {n} ^ {m}).}$

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Символ Черна используется в Теорема Хирцебруха – Римана – Роха..

Эквивариантная K-теория

В эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраическая K-теория связанный с категорией ${ displaystyle operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$ из эквивариантные когерентные пучки на алгебраической схеме ${ displaystyle X}$ с действие линейной алгебраической группы ${ displaystyle G}$через Quillen's Q-конструкция; таким образом, по определению,

${ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = pi _ {i} (B ^ {+} operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}$

Особенно, ${ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$ это Группа Гротендик из ${ displaystyle operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$. Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах.^[13] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

Смотрите также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• КР-теория
• Список теорий когомологий
• Алгебраическая K-теория
• Топологическая K-теория
• Операторная K-теория
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Примечания

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). K-теория. Advanced Book Classics (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-09394-0. МИСТЕР 1043170.
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по K-теории. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. МИСТЕР 2182598.
• Парк, Efton (2008). Комплексная топологическая K-теория. Кембриджские исследования в области высшей математики. 111. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Свон, Р. Г. (1968). Алгебраическая K-теория. Конспект лекций по математике. 76. Springer. ISBN 3-540-04245-8.
• Каруби, Макс (1978). K-теория: введение. Классика по математике. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv:математика / 0602082.
• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные пучки и K-теория".
• Вейбель, Чарльз (2013). K-книга: введение в алгебраическую K-теорию. Град. Исследования по математике. 145. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-9132-2.

внешняя ссылка

• Гротендик-Риман-Рох
• Страница Макса Каруби
• Архив препринтов к-теории