WikiDer > Метод Галеркина

Galerkin method

В математика, в районе числовой анализ, Методы Галеркина представляют собой класс методов для преобразования задачи непрерывного оператора (например, дифференциальное уравнение) к дискретной задаче. В принципе, это эквивалент применения метода вариация параметров в функциональное пространство, преобразовав уравнение в слабая формулировка. Обычно затем применяют некоторые ограничения к функциональному пространству, чтобы охарактеризовать пространство с помощью конечного набора базисных функций.

Такой подход обычно приписывают Борис Галёркин.^[1]^[2] Метод был объяснен западному читателю Хенки.^[3] и Дункан^[4]^[5] среди прочего. Его сходимость исследовал Михлин.^[6] и Лейпхольц^[7]^[8]^[9]^[10] Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Елисаков и другие.^[11]^[12]^[13] Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером.^[14] Гандер и Ваннер^[15] показал, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. О столетии развития метода рассказал Репин.^[16] Часто, говоря о методе Галеркина, наряду с типичными используемыми методами аппроксимации также указывается его название, например, метод Бубнова – Галеркина (после Иван Бубнов), Метод Петрова – Галеркина (по Георгию Ивановичу Петрову^[17]) или методом Ритца – Галеркина^[18] (после Вальтер Ритц).

Примеры методов Галеркина:

то Галеркин метод взвешенных остатков, наиболее распространенный метод расчета глобальной матрица жесткости в метод конечных элементов,^[19]^[20]
то метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
Методы подпространства Крылова.^[21]

Введение в абстрактную проблему

Проблема в слабой постановке

Представим метод Галеркина с абстрактной задачей, сформулированной как слабая формулировка на Гильбертово пространство ${ displaystyle V}$ , а именно

найти

{ displaystyle u in V}

такой, что для всех

{ Displaystyle v в V, а (и, v) = е (v)}

.

Здесь, ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ это билинейная форма (точные требования к ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ будет указано позже) и ${ displaystyle f}$ - линейный ограниченный функционал на ${ displaystyle V}$ .

Понижение размерности Галеркина

Выберите подпространство ${ displaystyle V_ {n} subset V}$ измерения п и решим предполагаемую проблему:

Находить

{ displaystyle u_ {n} in V_ {n}}

такой, что для всех

{ Displaystyle v_ {n} in V_ {n}, a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n})}

.

Мы называем это Уравнение Галеркина. Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным и изменились только пространства. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет нам численно вычислить ${ displaystyle u_ {n}}$ как конечная линейная комбинация базисных векторов в ${ displaystyle V_ {n}}$ .

Галеркин ортогональность

Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. С ${ displaystyle V_ {n} subset V}$ , мы можем использовать ${ displaystyle v_ {n}}$ как тестовый вектор в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки: ${ displaystyle epsilon _ {n} = u-u_ {n}}$ что является ошибкой между решением исходной проблемы, ${ displaystyle u}$ , и решение уравнения Галеркина: ${ displaystyle u_ {n}}$

{ displaystyle a ( epsilon _ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) - a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n}) - f (v_ {n}) = 0.}

Матричная форма

Поскольку целью метода Галеркина является получение линейная система уравнений, мы строим его матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Позволять ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {n}}$ быть основа за ${ displaystyle V_ {n}}$ . Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т. Е. Найти ${ displaystyle u_ {n} in V_ {n}}$ такой, что

{ displaystyle a (u_ {n}, e_ {i}) = f (e_ {i}) quad i = 1, ldots, n.}

Мы расширяем ${ displaystyle u_ {n}}$ относительно этой основы, ${ displaystyle u_ {n} = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$ и вставьте его в уравнение выше, чтобы получить

{ displaystyle a left ( sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}, e_ {i} right) = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ { j} a (e_ {j}, e_ {i}) = f (e_ {i}) quad i = 1, ldots, n.}

Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений ${ displaystyle Au = f}$ , куда

{ displaystyle A_ {ij} = a (e_ {j}, e_ {i}), quad f_ {i} = f (e_ {i}).}

Симметрия матрицы

В силу определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина имеет вид симметричный тогда и только тогда, когда билинейная форма ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ симметрично.

Анализ методов Галеркина

Здесь мы ограничимся симметричными билинейные формы, то есть

{ Displaystyle а (и, v) = а (v, и).}

Хотя на самом деле это не ограничение методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, Метод Петрова – Галеркина может потребоваться в несимметричном случае.

Анализ этих методов проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что уравнение Галеркина является хорошо поставленная проблема в смысле Адамар и поэтому допускает единственное решение. На втором этапе исследуем качество аппроксимации решения Галеркина. ${ displaystyle u_ {n}}$ .

Анализ будет в основном опираться на два свойства билинейная форма, а именно

Ограниченность: для всех ${ displaystyle u, v in V}$ держит
${ Displaystyle а (и, v) Leq С | и | , | v |}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle C> 0}$
Эллиптичность: для всех ${ displaystyle u in V}$ держит
${ Displaystyle а (и, и) geq с | и | ^ {2}}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle c> 0.}$

По теореме Лакса-Мильграма (см. слабая формулировка) эти два условия означают корректность исходной задачи в слабой постановке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина

С ${ displaystyle V_ {n} subset V}$ , ограниченность и эллиптичность билинейной формы применяются к ${ displaystyle V_ {n}}$ . Следовательно, корректность проблемы Галеркина фактически унаследована от корректности исходной проблемы.

Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)

Ошибка ${ displaystyle u-u_ {n}}$ между исходным и решением Галеркина допускает оценку

{ displaystyle | u-u_ {n} | leq { frac {C} {c}} inf _ {v_ {n} in V_ {n}} | u-v_ {n} | .}

Это означает, что с точностью до постоянного ${ displaystyle C / c}$ , решение Галеркина ${ displaystyle u_ {n}}$ максимально приближен к оригинальному решению ${ displaystyle u}$ как и любой другой вектор в ${ displaystyle V_ {n}}$ . В частности, достаточно будет изучить приближение пространствами ${ displaystyle V_ {n}}$ , совершенно забывая о решаемом уравнении.

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом, лежащим в основе всех методов Галеркина, мы включаем его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства посередине) мы имеем для произвольных ${ displaystyle v_ {n} in V_ {n}}$ :

{ displaystyle c | u-u_ {n} | ^ {2} leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n}) leq C | u-u_ {n} | , | u-v_ {n} |.}

Деление на ${ Displaystyle с | и-и_ {п} |}$ и брать инфимум по всем возможным ${ displaystyle v_ {n}}$ влечет лемму.

Смотрите также

Метод Ритца

внешняя ссылка

[1] Галёркин Б.Г. Стержни и пластины - серии, встречающиеся в различных вопросах упругого равновесия стержней и пластин // Вестник Инженеров и Техников. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info 1963).

[2] "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0

[3] Хенки Х., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).

[4] Дункан У.Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальные уравнения, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.

[5] Дункан, У.Дж., 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.

[6] Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. Издательство Pergamon Press, 1964.

[7] Leipholz H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем с вибрацией, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18

[8] Leipholz H.H.E., 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).

[9] Leipholz H.H.E., 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).

[10] Лейпхольц, H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем вибрации, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.

[11] Элишаков И., Ли Л.Х.Н., 1986, Об эквивалентности методов рядов Галеркина и Фурье для одного класса задач, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174–177.

[12] Елишаков И., Зингалес М. Совпадение решения Бубнова-Галеркина и точного решения в задаче прикладной механики // Журнал прикладной механики. 70, 777-779.

[13] Елишаков И., Зингалес М., 2004, На примере сходимости метода Бубнова-Галеркина, AIAA Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.

[14] Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, Vol. 66, No. 621, p.592.

[15] Гандер М.Дж., Ваннер Г., 2012 г., От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, Обзор SIAM, Vol. 54 (4), 627-666.

[16] ] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительные методы и прикладная математика, Том 17 (3), 351-357.

[Birthday-17] «Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015

[ErnGuermond-18] А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов, Springer, 2004 г., ISBN 0-387-20574-8

[BrennerScott-19] С. Бреннер, Р. Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов, 2-е издание, Springer, 2005 г., ISBN 0-387-95451-1

[Ciarlet-20] П. Г. Чиарле, Метод конечных элементов для эллиптических задач., Северная Голландия, 1978 г., ISBN 0-444-85028-7

[Saad-21] Ю. Саад, Итерационные методы для разреженных линейных систем., 2-е издание, СИАМ, 2003 г., ISBN 0-89871-534-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

Navigation