WikiDer > Риманова геометрия

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Риманова геометрия это филиал дифференциальная геометрия что изучает Римановы многообразия, гладкие многообразия с Риманова метрика, т.е. с внутренний продукт на касательное пространство в каждой точке, которая меняется плавно от точки к точке. Это дает, в частности, локальные представления о угол, длина кривых, площадь поверхности и объем. Из них можно получить некоторые другие глобальные величины: интеграция местные взносы.

Риманова геометрия возникла с видением Бернхард Риманн в своей вступительной лекции "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen(«О гипотезах, на которых основана геометрия»). Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальная геометрия поверхностей в р³. Развитие римановой геометрии привело к синтезу различных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезические на них, с методами, которые могут быть применены для изучения дифференцируемые многообразия высших измерений. Это позволило сформулировать Эйнштейнс общая теория относительности, оказали глубокое влияние на теория групп и теория представлений, а также анализ, и стимулировали развитие алгебраический и дифференциальная топология.

Вступление

Бернхард Риманн

Риманова геометрия была впервые предложена в общих чертах Бернхард Риманн в 19 ​​веке. Он имеет дело с широким спектром геометрий, метрика свойства варьируются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидова геометрия.

Каждое гладкое многообразие допускает Риманова метрика, что часто помогает решить проблемы дифференциальная топология. Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановы многообразия, которые (в четырех измерениях) являются основными объектами общая теория относительности. Другие обобщения римановой геометрии включают Финслерова геометрия.

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Вывихи и дисклинации производят скручивания и искривления.^[1][2]

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

• Метрический тензор
• Риманово многообразие
• Леви-Чивита связь
• Кривизна
• Тензор кривизны
• Список тем по дифференциальной геометрии
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Классические теоремы

Ниже приводится неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большинство результатов можно найти в классической монографии А. Джефф Чигер и Д. Эбин (см. ниже).

Приведенные формулировки далеко не очень точные и не самые общие. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы

1. Теорема Гаусса – Бонне Интеграл гауссовой кривизны на компактном двумерном римановом многообразии равен 2πχ (M) где χ (M) обозначает Эйлерова характеристика из M. Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенная теорема Гаусса-Бонне.
2. Теоремы вложения Нэша. Они заявляют, что каждый Риманово многообразие может быть изометрически встроенный в Евклидово пространство р^п.

Геометрия в целом

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая либо некоторую информацию о топологическом типе многообразия, либо о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.

Ущемлен секционная кривизна

1. Теорема о сфере. Если M односвязный компакт п-мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго сжатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфна сфере.
2. Теорема Чигера о конечности. Данные константы C, D и V, имеется лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных п-мерные римановы многообразия секционной кривизны |K| ≤ C, диаметр ≤ D и объем ≥ V.
3. Почти плоские многообразия Громова. Имеется ε_п > 0 такой, что если п-мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны |K| ≤ ε_п и диаметра ≤ 1, то его конечное покрытие диффеоморфно нулевой коллектор.

Ограниченная снизу секционная кривизна

1. Чигера – Громолля теорема души. Если M является некомпактным полным неотрицательно искривленным п-мерное риманово многообразие, то M содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S такой, что M диффеоморфно нормальному расслоению S (S называется душа из M.) В частности, если M имеет строго положительную кривизну всюду, то она диффеоморфный к р^п. Г. Перельман в 1994 году дал удивительно элегантное / короткое доказательство гипотезы о душе: M диффеоморфен р^п если он имеет положительную кривизну только в одной точке.
2. Теорема Громова о числах Бетти. Есть постоянный C = C(п) такой, что если M компактно связное п-мерного риманова многообразия положительной секционной кривизны, то сумма его Бетти числа самое большее C.
3. Теорема Гроув – Петерсена о конечности. Данные константы C, D и V, существует лишь конечное число гомотопических типов компактных п-мерные римановы многообразия секционной кривизны K ≥ C, диаметр ≤ D и объем ≥ V.

Ограниченная сверху секционная кривизна

1. В Теорема Картана – Адамара. заявляет, что полный односвязный Риманово многообразие M с неположительной кривизной сечения диффеоморфный к Евклидово пространство р^п с п = тусклый M через экспоненциальная карта в любой момент. Отсюда следует, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия с неположительной секционной кривизной соединяются единственной геодезической.
2. В геодезический поток любого компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны эргодический.
3. Если M - полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k тогда это КОТ(k) Космос. Следовательно, его фундаментальная группа Γ =π₁(M) является Громов гиперболический. Это имеет много значений для структуры фундаментальной группы:

• это конечно представленный;
• то проблема со словом поскольку Γ имеет положительное решение;
• группа Γ имеет конечные виртуальные когомологическая размерность;
• он содержит только конечное число классы сопряженности из элементы конечного порядка;
• то абелевский подгруппы в Γ суть практически циклический, так что он не содержит подгруппы, изоморфной Z×Z.

Кривизна Риччи, ограниченная снизу

1. Теорема Майерса. Если компактное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечно.
2. Формула Бохнера. Если компактный риманов п-многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит п, с равенством тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
3. Теорема о расщеплении. Если полное п-мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. е. геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной прямой и полного (п-1) -мерное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи.
4. Неравенство Бишопа – Громова.. Объем метрического шара радиуса р в полном п-мерное риманово многообразие положительной кривизны Риччи имеет объем не больше, чем объем шара того же радиуса р в евклидовом пространстве.
5. Теорема Громова о компактности. Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром не более D является предварительное уплотнение в Метрика Громова-Хаусдорфа.

Отрицательная кривизна Риччи

1. В группа изометрии компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной Риччи есть дискретный.
2. Любое гладкое многообразие размерности п ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи.^[3] (Это не верно для поверхностей.)

Положительная скалярная кривизна

1. В п-мерный тор не допускает метрики положительной скалярной кривизны.
2. Если радиус приемистости компактного п-мерное риманово многообразие ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит п(п-1).

Смотрите также

• Форма вселенной
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Нормальные координаты
• Систолическая геометрия
• Геометрия Римана – Картана в теории Эйнштейна – Картана (мотивация)
• Минимальная поверхность Римана

Примечания

Рекомендации

Книги

• Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия второй половины двадцатого века, Серия университетских лекций, 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2052-4. (Предоставляет исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
• Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии, Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing; Переиздание оригинала 1975 года.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия, Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag.
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Джи, Атанас Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 с. ISBN 978-3-319-60039-0

Статьи

• Брендл, Саймон; Шен, Ричард М. (2007), Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной на 1/4, arXiv:0705.3963, Bibcode:2007arXiv0705.3963B

внешняя ссылка

• Риманова геометрия В. А. Топоногова на Энциклопедия математики
• Вайсштейн, Эрик В. «Риманова геометрия». MathWorld.