Многоугольник с 80 гранями
В геометрия, восьмиугольник (или же ogdoëcontagon или 80-угольник от Древнегреческий ὁγδοήκοντα, восемьдесят[1]) является восьмидесятиугольным многоугольник.[2][3] Сумма внутренних углов любого восьмиугольника равна 14040 градусы.
Обычный восьмиугольник
А обычный восьмиугольник представлен Символ Шлефли {80} а также может быть выполнен в виде усеченный тетраконтагон, t {40}, или дважды усеченный икосагон, tt {20}, или трижды усеченный десятиугольник, ttt {10} или четырехкратно усеченный пятиугольник, tttt {5}.
Один внутренний угол в правильном восьмиугольнике равен 175.1⁄2°, что означает, что один внешний угол будет 41⁄2°.
В площадь правильного восьмиугольника есть (с т = длина кромки)
и это inradius является
В по окружности правильного восьмиугольника
Строительство
Поскольку 80 = 24 × 5 правильный восьмиугольник конструктивный используя компас и линейка.[4] Как усеченный тетраконтагон, его можно построить с помощью ребраделение пополам правильного тетраконтагона. Это означает, что тригонометрические функции π / 80 можно выразить в радикалах:
Симметрия
Симметрии правильного восьмиугольника. Голубыми линиями показаны подгруппы индекса 2. Левый и правый подграфы позиционно связаны подгруппами индекса 5.
В правильный восьмиугольник есть Dih80 двугранная симметрия, порядок 80, представленный 80 линиями отражения. Dih40 имеет 9 диэдральных подгрупп: (Dih40, Ди20, Ди10, Ди5) и (Dih16, Ди8, Ди4, и Dih2, Ди1). Также есть еще 10 циклический симметрии как подгруппы: (Z80, Z40, Z20, Z10, Z5) и (Z16, Z8, Z4, Z2, Z1), причем Zп представляющий π /п радианная вращательная симметрия.
Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.[5] r160 представляет собой полную симметрию и а1 этикетки не симметричны. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, п с зеркальными линиями по краям (перпендикулярно), я с зеркальными линиями через вершины и края, и грамм для вращательной симметрии.
Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные восьмиугольники. Только g80 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.
Рассечение
80-угольник с 3120 ромбами
Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на м(м-1) / 2 параллелограмма.[6]В частности, это верно для правильные многоугольники с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы ромбовидны. Для правильный восьмиугольник, м= 40, и его можно разделить на 780: 20 квадратов и 19 наборов по 40 ромбов. Это разложение основано на Многоугольник Петри проекция 40-куб.
Октаконтаграмма
Октаконтаграмма - это 80-сторонняя звездный многоугольник. Есть 15 обычных форм, которые дает Символы Шлефли {80/3}, {80/7}, {80/9}, {80/11}, {80/13}, {80/17}, {80/19}, {80/21}, {80 / 23}, {80/27}, {80/29}, {80/31}, {80/33}, {80/37} и {80/39}, а также 24 обычных звездные фигуры с тем же конфигурация вершины.
Обычный звездные многоугольники {80 / к}| Рисунок | 
{80/3} | 
{80/7} | 
{80/9} | 
{80/11} | 
{80/13} | 
{80/17} | 
{80/19} | 
{80/21} |
|---|
| Внутренний угол | 166.5° | 148.5° | 139.5° | 130.5° | 121.5° | 103.5° | 94.5° | 85.5° |
|---|
| Рисунок | 
{80/23} | 
{80/27} | 
{80/29} | 
{80/31} | 
{80/33} | 
{80/37} | 
{80/39} | |
|---|
| Внутренний угол | 76.5° | 58.5° | 49.5° | 40.5° | 31.5° | 13.5° | 4.5° | |
|---|
Рекомендации
- ^ Греческие числа и цифры (древние и современные) Гарри Фундэлис
- ^ Горини, Екатерина А. (2009), Справочник фактов о геометрии файлов, Издательство информационной базы, стр. 110, ISBN 9781438109572.
- ^ Новые элементы математики: алгебра и геометрия к Чарльз Сандерс Пирс (1976), стр.298
- ^ Конструируемый многоугольник
- ^ Симметрии вещей, Глава 20
- ^ Coxeter, Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, с.141
