WikiDer > Тангенциальный многоугольник

Tangential polygon
Тангенциальная трапеция

В Евклидова геометрия, а касательный многоугольник, также известный как описанный многоугольник, это выпуклый многоугольник который содержит вписанный круг (также называемый окружать). Это круг, который касательная к каждой из сторон многоугольника. В двойной многоугольник касательного многоугольника является циклический многоугольник, который имеет описанный круг проходя через каждый из своих вершины.

Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники, которые включают ромбовидные и воздушные змеи.

Характеристики

В выпуклом многоугольнике вписана окружность если и только если все его внутренние биссектриса угла находятся одновременный. Эта общая точка - стимулятор (центр вписанной окружности).[1]

Существует касательный многоугольник п последовательные стороны а1, ..., ап если и только если система уравнений

есть решение (Икс1, ..., Иксп) в положительном реалы.[2] Если такое решение существует, то Икс1, ..., Иксп являются касательные длины многоугольника (длины от вершины к точкам вписанной окружности касательная в стороны).

Уникальность и неединственность

Если количество сторон п нечетно, то для любого заданного набора сторон удовлетворяющий указанному выше критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если п есть даже их бесконечное количество.[3]:п. 389 Например, в случае четырехугольника, когда все стороны равны, мы можем иметь ромб с любым значением острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.

Inradius

Если п стороны касательного многоугольника равны а1, ..., ап, внутренний радиус (радиус вписанной окружности)[4]

куда K это площадь многоугольника и s это полупериметр. (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

  • Для тангенциального многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (так что многоугольник правильный). У тангенциального многоугольника с четным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы А, C, E, ... равны, а углы B, D, F, ... равны).[5]
  • В касательном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин сторон с нечетными номерами равна сумме длин сторон с четными номерами.[2]
  • Тангенциальный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с таким же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности.[6]:п. 862[7]
  • В центроид любого касательного многоугольника, центр тяжести его граничных точек и центр вписанной окружности равны коллинеарен, с центром тяжести многоугольника между остальными и вдвое дальше от центра тяжести, чем от центроида границы.[6]:стр. 858–9

Тангенциальный треугольник

Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется тангенциальный треугольник контрольного треугольника, если касания касательного треугольника с окружностью также являются вершинами контрольного треугольника.

Тангенциальный четырехугольник

Тангенциальный шестиугольник

Параллельные главные диагонали

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдре Смелцер, Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 77.
  2. ^ а б Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Компендиум ИМО, Springer, 2006, стр. 561.
  3. ^ Гесс, Альбрехт (2014), «На окружности, содержащей центры касательных четырехугольников» (PDF), Форум Геометрикорум, 14: 389–396.
  4. ^ Альсина, Клауди и Нельсен, Роджер, Иконы математики. Исследование двадцати ключевых образов, Математическая ассоциация Америки, 2011, стр. 125.
  5. ^ Де Вильерс, Майкл. «Равносторонние циклические и равносторонние описанные многоугольники», Математический вестник 95, март 2011 г., стр. 102–107.
  6. ^ а б Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 111: 853–863. Дои:10.2307/4145094. Получено 6 апреля 2016.
  7. ^ Апостол, Том (декабрь 2005). "опечатка". Американский математический ежемесячный журнал. 112 (10): 946. Дои:10.1080/00029890.2005.11920274.