WikiDer > Хронология многообразий

Это график коллекторы, одно из основных геометрических понятий математики. Для получения дополнительной информации см. история многообразий и разновидностей.

Многообразия в современной математике бывают разных типов. К ним относятся:

• гладкий многообразий, которые являются основными в исчисление в нескольких переменных, математический анализ и дифференциальная геометрия;
• кусочно-линейный коллекторы;
• топологические многообразия.

Есть также родственные классы, например гомологические многообразия и орбифолды, напоминающие многообразия. Понадобилось поколение, чтобы появилась ясность после первоначальной работы Анри Пуанкаре, по основным определениям; и следующее поколение, чтобы более точно различать три основных класса. Низкоразмерная топология (то есть размерности 3 и 4 на практике) оказалась более устойчивой, чем высшая размерность, в прояснении наследия Пуанкаре. Дальнейшее развитие принесло свежие геометрические идеи, концепции из квантовой теории поля и активное использование теории категорий.

На участников первой фазы аксиоматизации оказали влияние Дэвид Гильберт: с Аксиомы Гильберта в качестве примера Третья проблема Гильберта как решил Ден, один из актеров, Пятнадцатая проблема Гильберта из потребностей геометрии XIX века. Предметом многообразий является нить, общая для алгебраическая топология, дифференциальная топология и геометрическая топология.

Хронология до 1900 года и Анри Пуанкаре

1900-1920 гг.

1920 г. - аксиомы 1945 г. для гомологии

Год	Авторы	Мероприятие
1923	Герман Кюннет	Формула Кюннета для гомологии произведения пространств.
1926	Хельмут Кнезер	Определяет «топологическое многообразие» как второе счетное хаусдорфово пространство с точками, имеющими окрестности, гомеоморфные открытым шарам; и "комбинаторное многообразие" индуктивным образом в зависимости от клеточный комплекс определение и Hauptvermutung.[21]
1926	Эли Картан	Классификация симметричные пространства, класс однородных пространств.
1926	Тибор Радо	Двумерный топологические многообразия есть триангуляции.[22]
1926	Хайнц Хопф	Теорема Пуанкаре – Хопфа, сумма индексов векторного поля с изолированными нулями на компактном дифференциальном многообразии M равно Эйлерова характеристика из M.
1926−7	Отто Шрайер	Определения топологическая группа и «непрерывная группа» (традиционный термин, в конечном итоге Группа Ли) как локально евклидова топологическая группа). Он также представляет универсальный чехол в контексте.[23]
1928	Леопольд Виеторис	Определение h-многообразия комбинаторными средствами путем анализа доказательств, примененного к двойственности Пуанкаре.[24]
1929	Эгберт ван Кампен	В своей диссертации с помощью звездных комплексов для симплициальных комплексов восстанавливает двойственность Пуанкаре в комбинаторной обстановке.[25]
1930	Бартель Леендерт ван дер Варден	Преследуя цель создания основ Исчисление Шуберта в перечислительная геометрия, он исследовал Пуанкаре-Лефшеца теория пересечений для своей версии номер перекресткав статье 1930 г. (учитывая триангулируемость алгебраические многообразия).[26] В том же году он опубликовал заметку Комбинаторная топология на разговоре для Deutsche Mathematiker-Vereinigung, в котором он сделал обзор определений «топологического многообразия», данных на данный момент восемью авторами.[27]
около 1930	Эмми Нётер	Теория модулей и общие цепные комплексы разработаны Нётер и ее учениками, а алгебраическая топология начинается как аксиоматический подход, основанный на абстрактная алгебра.
1931	Жорж де Рам	Теорема де Рама: для компактного дифференциального многообразия цепной комплекс из дифференциальные формы вычисляет группы вещественных (ко) гомологий.[28]
1931	Хайнц Хопф	Представляет Расслоение Хопфа, ${ Displaystyle S ^ {1} к S ^ {3} к S ^ {2}}$.
1931–2	Освальд Веблен, Дж. Х. К. Уайтхед	Тезис Уайтхеда 1931 г., Представление проективных пространств, написанная с Вебленом в качестве советника, дает внутреннее и аксиоматическое представление о многообразиях как Хаусдорфовы пространства при соблюдении определенных аксиом. Затем последовала совместная книга Основы дифференциальной геометрии (1932). Концепция "карты" Пуанкаре, локальной системы координат, организована в атлас; в этой настройке к функциям перехода могут применяться условия регулярности.[29][30][8] Эта основополагающая точка зрения позволяет псевдогруппа ограничение на функции перехода, например, чтобы ввести кусочно-линейные структуры.[31]
1932	Эдуард Чех	Когомологии Чеха.
1933	Соломон Лефшец	Особые гомологии топологических пространств.
1934	Марстон Морс	Теория Морса связывает вещественные гомологии компактных дифференциальных многообразий с критические точки из Функция Морса.[32]
1935	Хасслер Уитни	Доказательство теорема вложения, утверждая, что гладкое многообразие размерности п может быть вложено в евклидово пространство размерности 2п.[33]
1941	Витольд Гуревич	Первая фундаментальная теорема гомологической алгебры: для короткой точной последовательности пространств существует связывающий гомоморфизм такая, что длинная последовательность групп когомологий пространств точна.
1942	Лев Понтрягин	Понтрягин полностью опубликовал в 1947 году новую теорию кобордизм в результате чего замкнутое многообразие, являющееся краем, имеет исчезающие Числа Штифеля-Уитни. Согласно теореме Стокса классы кобордизма подмногообразий инвариантны для интегрирования замкнутые дифференциальные формы; введение алгебраических инвариантов открыло путь для вычислений с отношением эквивалентности как с чем-то внутренним.[34]
1943	Вернер Гайсин	Последовательность гизина и Гомоморфизм Гизина.
1943	Норман Стинрод	Гомологии с локальными коэффициентами.
1944	Сэмюэл Эйленберг	«Современное» определение особые гомологии и особые когомологии.
1945	Бено Экманн	Определяет кольцо когомологий опираясь на Хайнц Хопфработа. В случае многообразий существует несколько интерпретаций кольцевого произведения, в том числе клин дифференциальных форм, и чашка продукта представляющие пересекающиеся циклы.

1945 по 1960

Терминология: К этому периоду обычно предполагается, что многообразия являются многообразиями Веблена-Уайтхеда, поэтому локально евклидовы Хаусдорфовы пространства, но применение аксиомы счетности также становится стандартом. Веблен-Уайтхед не предполагал, в отличие от Кнезера, что многообразия являются второй счетный.^[35] Термин «отделимое многообразие», обозначающий вторые счетные многообразия, сохранился до конца 1950-х годов.^[36]

Год	Авторы	Мероприятие
1945	Saunders Mac Lane–Сэмюэл Эйленберг	Основание теория категорий: аксиомы для категории, функторы и естественные преобразования.
1945	Норман Стинрод–Сэмюэл Эйленберг	Аксиомы Эйленберга – Стинрода для гомологий и когомологий.
1945	Жан Лере	Фонды теория связок. Для Лере пучок был картой, сопоставляющей модуль или кольцо замкнутому подпространству топологического пространства. Первым примером был пучок, приписывающий замкнутому подпространству его п-я группа когомологий.
1945	Жан Лере	Определяет когомологии пучков.
1946	Жан Лере	Изобретает спектральные последовательности, метод итерационной аппроксимации групп когомологий.
1948	Картанский семинар	Пишет теория связок.
1949 г.	Норман Стинрод	В Проблема Стинрода, представления классов гомологии фундаментальные классы многообразий, можно решить с помощью псевдомногообразия (и позже сформулированный с помощью теории кобордизмов).[37]
1950	Анри Картан	В заметках по теории связок с семинара Картана он определяет: Пространство связки (эталонное пространство), поддерживать пучков аксиоматически, когомологии пучков с поддержкой. «Наиболее естественное доказательство двойственности Пуанкаре получается с помощью теории пучков».[38]
1950	Сэмюэл Эйленберг–Джо Зильбер	Симплициальные множества как чисто алгебраическая модель топологических пространств с хорошим поведением.
1950	Чарльз Эресманн	Теорема Эресмана о расслоении утверждает, что гладкая, собственная, сюръективная субмерсия между гладкими многообразиями является локально тривиальным расслоением.
1951	Анри Картан	Значение теория связок, с пучок определены с использованием открытых подмножеств (а не замкнутых подмножеств) топологического пространства. Пучки соединяют локальные и глобальные свойства топологических пространств.
1952	Рене Том	В Изоморфизм Тома приносит кобордизм многообразий в сферу теория гомотопии.
1952	Эдвин Э. Моис	Теорема Моиса установили, что трехмерное компактное связное топологическое многообразие является Коллектор PL (ранняя терминология «комбинаторное многообразие»), имеющая уникальную структуру PL. В частности, это триангулируемость.[39] Теперь известно, что этот результат не распространяется на более высокие измерения.
1956	Джон Милнор	Первый экзотические сферы были построены Милнором в размерности 7, как ${ Displaystyle S ^ {3}}$-бутует ${ displaystyle S ^ {4}}$. Он показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур.
1960	Джон Милнор и Сергей Новиков	В кольцо классов кобордизма стабильно комплексных многообразий представляет собой кольцо многочленов от бесконечного числа образующих положительных четных степеней.

1961-1970 гг.

Год	Авторы	Мероприятие
1961	Стивен Смейл	Доказательство обобщенного Гипотеза Пуанкаре в размерах больше четырех.
1962	Стивен Смейл	Доказательство час-теорема -кобордизм в размерах больше четырех, исходя из Уитни уловка.
1963	Мишель Кервер–Джон Милнор	Классификация экзотических сфер: моноид гладких структур на п-сфера - это совокупность ориентированных гладких п-многообразия, гомеоморфные ${ Displaystyle S ^ {п}}$, взятая с сохранением ориентации диффеоморфизмом, с связанная сумма как моноидная операция. За ${ Displaystyle п neq 4}$, этот моноид является группой и изоморфен группе ${ displaystyle Theta _ {n}}$ из час-кобордизм классы ориентированной гомотопии п-сферы, которые конечны и абелевы.
1965	Деннис Барден	Завершает классификацию односвязных компактных 5-коллекторы, созданный Смейлом в 1962 году.
1967	Фридхельм Вальдхаузен	Определяет и классифицирует трехмерное графовые многообразия.
1968	Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн	По крайней мере в пяти измерениях Класс Кирби – Зибенмана является единственным препятствием на пути к топологическому многообразию, имеющему PL-структуру.[40]
1969	Лоран К. Зибенманн	Пример двух гомеоморфных PL-многообразий, не являющихся кусочно-линейно гомеоморфными.[41] В максимальный атлас подход к структурам на многообразиях прояснил Hauptvermutung для топологического многообразия M, как трихотомия. M может не иметь триангуляции, следовательно, и кусочно-линейного максимального атласа; он может иметь уникальную структуру PL; или он может иметь более одного максимального атласа и, следовательно, более одной структуры PL. Статус гипотезы о том, что всегда имел место второй вариант, прояснился на этом этапе в форме того, что каждый из трех случаев может применяться в зависимости от M. «Гипотеза комбинаторной триангуляции» утверждала, что первый случай невозможен, поскольку M компактный.[42] Результат Кирби – Зибенмана опровергает эту гипотезу. Пример Зибенманна показал, что третий случай также возможен.
1970	Джон Конвей	Теория мотков узлов: Вычисление инвариантов узлов с помощью мотки модули. Модули Skein могут быть основаны на квантовые инварианты.

1971–1980

1981–1990

Год	Авторы	Мероприятие
1984	Владимир Бажанов – Разумов Строганов	Бажанов – Строганов d-простое уравнение обобщение уравнения Янга – Бакстера и уравнения Замолодчикова
1986	Иоахим Ламбек–Фил Скотт	Так называемый Основная теорема топологии: Секционный функтор Γ и росток-функтор Λ устанавливают двойственное соединение между категорией предпучков и категорией расслоений (над одним и тем же топологическим пространством), которое ограничивается двойственной эквивалентностью категорий (или двойственностью) между соответствующими полными подкатегориями связки и эталонные связки
1986	Питер Фрейд–Дэвид Йеттер	Строит (компактную плетеную) моноидальную категория колтунов
1986	Владимир Дринфельд–Мичио Джимбо	Квантовые группы: Другими словами, квазитреугольная Алгебры Хопфа. Дело в том, что категории представлений квантовых групп тензорные категории с дополнительной структурой. Они используются при строительстве квантовые инварианты узлов и звеньев и многообразий малой размерности, среди других приложений.
1987	Владимир Дринфельд–Жерар Лаумон	Формулирует геометрическая программа Ленглендса
1987	Владимир Тураев	Начинается квантовая топология используя квантовые группы и R-матрицы дать алгебраическое объединение большинства известных узловые многочлены. Особенно важно было Воан Джонс и Эдвард Виттенработает над Многочлен Джонса.
1988	Грэм Сигал	Эллиптические объекты: Функтор, который представляет собой категоризированную версию векторного пучка, снабженного связью, это двумерный параллельный транспорт для строк.
1988	Грэм Сигал	Конформная теория поля: Симметричный моноидальный функтор ${ Displaystyle Z двоеточие OperatorName {nCob} _ { mathbb {C}} to operatorname {Hilb}}$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая квантовая теория поля (TQFT): Моноидальный функтор ${ Displaystyle Z двоеточие OperatorName {nCob} to operatorname {Hilb}}$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая теория струн
1989	Эдвард Виттен	Понимание Многочлен Джонса с помощью Теория Черна – Саймонса, что приводит к инвариантам для трехмерных многообразий
1990	Николай Решетихин–Владимир Тураев–Эдвард Виттен	Инварианты Решетихина – Тураева – Виттена. узлов из модульные тензорные категории представительств квантовые группы.

1991–2000

Год	Авторы	Мероприятие
1991	Андре Жоял–Росс-стрит	Формализация Пенроуза строковые диаграммы рассчитывать с абстрактные тензоры в различных моноидальные категории с дополнительной структурой. Исчисление теперь зависит от связи с низкоразмерная топология.
1992	Джон Гринлис–Питер Мэй	Двойственность Гринлис – Мэй
1992	Владимир Тураев	Модульные тензорные категории. Специальный тензорные категории которые возникают в строительстве инварианты узлов, при строительстве TQFT и CFTs, как усечение (полупростое частное) категории представлений квантовая группа (в корнях единства), как категории представлений слабых Алгебры Хопфа, как категория представлений RCFT.
1992	Владимир Тураев–Олег Виро	Модели государственной суммы Тураева – Виро на основе сферические категории (модели первой государственной суммы) и Инварианты суммы состояний Тураева – Виро для 3-многообразий.
1992	Владимир Тураев	Теневой мир ссылок: Тени ссылок задавать теневые инварианты ссылок по тени государственные суммы.
1993	Рут Лоуренс	Расширенные TQFT
1993	Дэвид Йеттер–Луи Крейн	Модели суммы состояний Крейна – Йеттера на основе категории лент и Инварианты суммы состояний Крейна – Йеттера для 4-многообразий.
1993	Кенджи Фукая	А∞-категории и А∞-функторы. А∞-категории также можно просматривать как некоммутативные формальные dg-многообразия с замкнутой выделенной подсхемой объектов.
1993	Джон Баррет-Брюс Вестбери	Сферические категории: Моноидальные категории с дуалами для диаграмм на сферах, а не на плоскости.
1993	Максим Концевич	Концевича инварианты для узлов (представляют собой интегралы Фейнмана в разложении возмущений для Функциональный интеграл Виттена), определяемый интегралом Концевича. Они универсальные Инварианты Васильева для узлов.
1993	Дэниел Фрид	Новый взгляд на TQFT с помощью модульные тензорные категории который объединяет 3 подхода к TQFT (модульные тензорные категории из интегралов по путям).
1994	Максим Концевич	Формулирует гомологическая зеркальная симметрия гипотеза: X - компактное симплектическое многообразие с первым классом Черна c1(Икс) = 0 и Y компактное многообразие Калаби – Яу являются зеркальными парами тогда и только тогда, когда D(ФукИкс) (производная категория Триангулированная категория Фукая из Икс состряпанных из лагранжевых циклов с локальными системами) эквивалентно подкатегории Dб(КоY) (ограниченная производная категория когерентных пучков на Y).
1994	Луи Крейн–Игорь Френкель	Категории хопфа и строительство 4D TQFT ими. Определяет k-tuply моноидальная п-категории. Он отражает таблицу гомотопические группы сфер.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Набросайте программу, в которой п-размерный TQFT описаны как представления n-категорий.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Предлагает п-размерный квантование деформации.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Гипотеза клубка: The п-категория обрамленных п-спутников в n + k измерениях есть (п + k) -эквивалентно свободному слабому k-tuply моноидальная п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Гипотеза кобордизма (Расширенная гипотеза TQFT I): п-категория п-мерные расширенные TQFT представляют собой представления nCob - свободная стабильная слабая п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Расширенная гипотеза TQFT II: An п-мерный унитарный расширенный ТКТП является слабым п-функтор, сохраняющий все уровни двойственности, от бесплатного стабильного слабого п-категория с двойниками по одному объекту на nHilb.
1995	Валентин Лычагин	Категориальное квантование
1997	Максим Концевич	Формальный квантование деформации Теорема: Каждый Пуассоново многообразие допускает дифференцируемую звездный продукт и классифицируются с точностью до эквивалентности формальными деформациями пуассоновской структуры.
1998	Ричард Томас	Томас, ученик Саймон Дональдсон, представляет Инварианты Дональдсона – Томаса которые являются системами числовых инвариантов комплексных ориентированных трехмерных многообразий Икс, аналогично Инварианты Дональдсона в теории 4-многообразий.
1998	Максим Концевич	Категории Калаби – Яу: А линейная категория с картой трассировки для каждого объекта категории и связанной симметричной (по отношению к объектам) невырожденной парой к карте трассировки. Если Икс гладкая проективная Сорт Калаби – Яу измерения d тогда ${ displaystyle D ^ {b} ( operatorname {Coh} (X))}$ является единым Калаби – Яу А∞-категория измерения Калаби – Яу d. Категория Калаби – Яу с одним объектом называется Алгебра Фробениуса.
1999	Джозеф Бернштейн–Игорь Френкель–Михаил Хованов	Категории Темперли – Либа: Объекты пронумерованы неотрицательными целыми числами. Множество гомоморфизмов из объекта п для объекта м это бесплатный р-модуль с основанием над кольцом ${ displaystyle R}$, куда ${ displaystyle R}$ задается изотопическими классами систем ${ Displaystyle (п | + | м |) / 2}$ простые попарно непересекающиеся дуги внутри горизонтальной полосы на плоскости, попарно соединяющиеся |п| точки внизу и |м| точки вверху в некотором порядке. Морфизмы составляются путем объединения их диаграмм. Категории Темперли – Либа разбиты на категории Алгебры Темперли – Либа.
1999	Мойра Час–Деннис Салливан	Конструкции строковая топология когомологиями. Это теория струн на общих топологических многообразиях.
1999	Михаил Хованов	Гомологии Хованова: Теория гомологий для узлов, размерность групп которых является коэффициентами Многочлен Джонса узла.
1999	Владимир Тураев	Гомотопическая квантовая теория поля HQFT
1999	Рональд Браун- Георгий Джанелидзе	Двумерная теория Галуа.
2000	Яков Элиашберг–Александр Гивенталь–Хельмут Хофер	Симплектическая теория поля SFT: Функтор ${ displaystyle Z}$ от геометрической категории оснащенных гамильтоновых структур и оснащенных кобордизмов между ними до алгебраической категории некоторых дифференциальных D-модулей и интегральных операторов Фурье между ними и удовлетворяющих некоторым аксиомам.

2001 – настоящее время

Смотрите также

• дифференцируемый стек
• гипотеза кобордизма
• гомология факторизации
• Теория Кураниши
• Гомология Флоера
• Глоссарий алгебраической топологии
• Хронология бордизма

Примечания