WikiDer > Список реальных тем анализа

Это список статей, которые считаются реальный анализ темы.

Общие темы

Пределы

• Предел последовательности
  • Последующий лимит - предел некоторой подпоследовательности
• Предел функции (видеть Список лимитов для списка пределов общих функций)
  • Односторонний предел - любой из двух пределов функций действительных переменных x, когда x приближается к точке сверху или снизу
  • Теорема сжатия - подтверждает ограничение функции путем сравнения с двумя другими функциями
  • Обозначение Big O - используется для описания ограничивающего поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности, обычно в терминах более простых функций

Последовательности и серии

(смотрите также список математических рядов)

• Арифметическая прогрессия - последовательность чисел такая, что разница между последовательными членами постоянна
  • Обобщенная арифметическая прогрессия - последовательность чисел, такая, что разница между последовательными членами может быть одной из нескольких возможных констант
• Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, такая, что каждый последующий член находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число
• Гармоническая прогрессия - последовательность, образованная путем взятия обратных значений членов арифметической прогрессии
• Конечная последовательность – видеть последовательность
• Бесконечная последовательность – видеть последовательность
• Дивергентная последовательность – видеть предел последовательности или же расходящийся ряд
• Сходящаяся последовательность – видеть предел последовательности или же сходящийся ряд
  • Последовательность Коши - последовательность, элементы которой становятся произвольно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности
• Сходящийся ряд - ряд, последовательность частичных сумм которого сходится
• Расходящаяся серия - ряд, последовательность частичных сумм которого расходится
• Силовая серия - серия формы ${ Displaystyle е (х) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} a_ {n} left (xc right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (xc) ^ {1} + a_ {2} (xc) ^ {2} + a_ {3} (xc) ^ {3} + cdots}$
  • Серия Тейлор - серия формы ${ displaystyle f (a) + { frac {f '(a)} {1!}} (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + { frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots.}$
    • Серия Маклорена – видеть Серия Тейлор
      • Биномиальный ряд - серия Маклорена функции ж данный ж(Икс) = (1 + Икс) ^α
• Телескопическая серия
• Чередование серий
• Геометрическая серия
  • Расходящиеся геометрические серии
• Гармонический ряд
• Ряд Фурье
• Серия Ламберта

Суммирование методы

• Чезаро суммирование
• Суммирование Эйлера
• Суммирование Ламберта
• Борелевское суммирование
• Суммирование по частям - преобразует сумму произведений в другие суммы
• Чезаро среднее
• Формула суммирования Абеля

Более сложные темы

• Свертка
  • Продукт Коши –– дискретная свертка двух последовательностей
• Последовательность Фари - последовательность полностью восстановленные фракции от 0 до 1
• Колебание - поведение последовательности действительных чисел или действительной функции, которая не сходится, но и не расходится к + ∞ или −∞; и также является количественным показателем этого.
• Неопределенные формы - алгебраические выражения, полученные в контексте пределов. Неопределенные формы включают 0⁰, 0/0, 1^∞, ∞ - ∞, ∞ / ∞, 0 × ∞ и ∞⁰.

Конвергенция

• Поточечная сходимость, Равномерная сходимость
• Абсолютная конвергенция, Условная сходимость
• Нормальная конвергенция
• Радиус схождения

Тесты сходимости

• Интегральный тест на сходимость
• Тест сходимости Коши
• Соотношение тест
• Тест прямого сравнения
• Предел сравнительный тест
• Корневой тест
• Испытание чередующейся серии
• Тест Дирихле
• Теорема Штольца – Чезаро - критерий сходимости последовательности

Функции

• Функция действительной переменной
• Реальная функция многих переменных
• Непрерывная функция
  • Непрерывная функция в никуда
  • Функция Вейерштрасса
• Гладкая функция
  • Аналитическая функция
    • Квазианалитическая функция
  • Неаналитическая гладкая функция
  • Плоская функция
  • Функция удара
• Дифференцируемая функция
• Интегрируемая функция
  • Функция, интегрируемая с квадратом, p-интегрируемая функция
• Монотонная функция
  • Теорема Бернштейна о монотонных функциях - утверждает, что любая действительная функция на полупрямой [0, ∞), которая является полностью монотонной, является смесью экспоненциальных функций
• Обратная функция
• Выпуклая функция, Вогнутая функция
• Сингулярная функция
• Гармоническая функция
  • Слабо гармоническая функция
  • Правильная выпуклая функция
• Рациональная функция
• Ортогональная функция
• Неявные и явные функции
  • Теорема о неявной функции - позволяет преобразовывать отношения в функции
• Измеримая функция
• Функция одной звезды Бэра
• Симметричная функция
• Домен
• Codomain
  • Изображение
• Поддерживать
• Дифференциал функции

Непрерывность

• Единая непрерывность
  • Модуль непрерывности
• Липшицева преемственность
• Полунепрерывность
• Равнонепрерывный
• Абсолютная преемственность
• Условие Гёльдера - условие непрерывности Гёльдера

Распределения

• Дельта-функция Дирака
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Преобразование Гильберта
• Функция Грина

Вариация

• Ограниченная вариация
• Общая вариация

Производные

• Вторая производная
  • Точка перегиба - найдено с использованием вторых производных
• Производная по направлению, Полная производная, Частная производная

Правила дифференциации

• Линейность дифференцирования
• Правило продукта
• Правило частного
• Правило цепи
• Теорема об обратной функции - дает достаточные условия для обратимости функции в окрестности точки в ее области определения, а также дает формулу для производной обратной функции

Дифференциация в геометрии и топологии

смотрите также Список тем по дифференциальной геометрии

• Дифференцируемое многообразие
• Дифференцируемая структура
• Погружение - дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями, дифференциал которого всюду сюръективен

Интегралы

(смотрите также Списки интегралов)

• Первообразный
  • Основная теорема исчисления - теорема о первообразных
• Кратный интеграл
• Итерированный интеграл
• Неправильный интеграл
  • Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам
• Линейный интеграл
• Теорема Андерсона - говорит, что интеграл от интегрируемой симметричной унимодальной неотрицательной функции по п-мерное выпуклое тело (K) не уменьшается, если K переводится внутрь к исходной точке

Интеграция и теория меры

смотрите также Список тем по теории интеграции и меры

• Интеграл Римана, Сумма Римана
  • Интеграл Римана – Стилтьеса.
• Интеграл Дарбу
• Интеграция Лебега

Основные теоремы

• Теорема о монотонной сходимости - связывает монотонность со сходимостью
• Теорема о промежуточном значении - утверждает, что для каждого значения между наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей изображения непрерывной функции есть по крайней мере одна точка в ее области определения, которой функция сопоставляет это значение
• Теорема Ролля - по сути, утверждает, что дифференцируемая функция, которая достигает равных значений в двух разных точках, должна иметь точку где-то между ними, где первая производная равна нулю
• Теорема о среднем значении - что для данной дуги дифференцируемой кривой существует по крайней мере одна точка на этой дуге, в которой производная кривой равна "средней" производной дуги.
• Теорема Тейлора - дает приближение к ${ displaystyle k}$ раз дифференцируемую функцию вокруг данной точки ${ displaystyle k}$-полином Тейлора.
• Правило L'Hôpital - использует производные инструменты для оценки лимитов неопределенных форм
• Теорема Абеля - связывает предел степенного ряда с суммой его коэффициентов
• Теорема обращения Лагранжа - дает ряд Тейлора, обратный аналитической функции
• Теорема Дарбу - утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования других функций, обладают свойством промежуточного значения: изображение интервала также является интервалом
• Теорема Гейне – Бореля - иногда используется как определяющее свойство компактности
• Теорема Больцано – Вейерштрасса - утверждает, что каждая ограниченная последовательность в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ имеет сходящуюся подпоследовательность
• Теорема об экстремальном значении - утверждает, что если функция ${ displaystyle f}$ непрерывна в замкнутом и ограниченном интервале ${ Displaystyle [а, б]}$, то он должен достигать максимума и минимума

Основные темы

Числа

Действительные числа

• Построение действительных чисел
  • Натуральное число
  • Целое число
  • Рациональное число
  • Иррациональный номер
• Полнота действительных чисел
• Свойство с наименьшей верхней границей
• Реальная линия
  • Расширенная строка действительных чисел
  • Дедекинда вырезать

Конкретные числа

• 0
• 1
  • 0.999...
• бесконечность

Наборы

• Открытый набор
• Район
• Кантор набор
• Производное множество (математика)
• Полнота
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее
  • Супремум
  • Infimum
• Интервал
  • Разделение интервала

Карты

• Картирование сокращения
• Метрическая карта
• Фиксированная точка - точка функции, которая отображается на себя

Прикладной математический аппарат

Бесконечные выражения

• Непрерывная дробь
• Серии
• Бесконечные продукты

Неравенства

Видеть список неравенств

• Неравенство треугольника
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство Минковского
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Чебышева
• Неравенство средних арифметических и геометрических

Средства

• Обобщенное среднее
• Пифагорей означает
  • Среднее арифметическое
  • Среднее геометрическое
  • Гармоническое среднее
• Среднее геометрическое-гармоническое
• Среднее арифметико-геометрическое
• Средневзвешенное значение
• Квазиарифметическое среднее

Ортогональные многочлены

• Классические ортогональные многочлены
  • Полиномы Эрмита
  • Полиномы Лагерра
  • Многочлены Якоби
  • Полиномы Гегенбауэра
  • Полиномы Лежандра

Пространства

• Евклидово пространство
• Метрическое пространство
  • Теорема Банаха о неподвижной точке - гарантирует существование и единственность неподвижных точек некоторых самокопий метрических пространств, предоставляет метод их поиска
  • Полное метрическое пространство
• Топологическое пространство
  • Функциональное пространство
    • Пространство последовательности
• Компактное пространство

Меры

• Мера Лебега
• Внешняя мера
  • Мера Хаусдорфа
• Теорема о доминирующей сходимости - обеспечивает достаточные условия коммутации двух предельных процессов, а именно интегрирование Лебега и сходимость почти всюду последовательности функций.

Поле наборов

• Сигма-алгебра

Исторические деятели

• Мишель Ролль (1652–1719)
• Брук Тейлор (1685–1731)
• Леонард Эйлер (1707–1783)
• Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813)
• Жозеф Фурье (1768–1830)
• Бернар Больцано (1781–1848)
• Огюстен Коши (1789–1857)
• Нильс Хенрик Абель (1802–1829)
• Питер Густав Лежен Дирихле (1805–1859)
• Карл Вейерштрасс (1815–1897)
• Эдуард Гейне (1821–1881)
• Пафнутый Чебышев (1821–1894)
• Леопольд Кронекер (1823–1891)
• Бернхард Риманн (1826–1866)
• Ричард Дедекинд (1831–1916)
• Рудольф Липшиц (1832–1903)
• Камилла Джордан (1838–1922)
• Жан Гастон Дарбу (1842–1917)
• Георг Кантор (1845–1918)
• Эрнесто Сезаро (1859–1906)
• Отто Гёльдер (1859–1937)
• Герман Минковски (1864–1909)
• Альфред Таубер (1866–1942)
• Феликс Хаусдорф (1868–1942)
• Эмиль Борель (1871–1956)
• Анри Лебег (1875–1941)
• Вацлав Серпинский (1882–1969)
• Иоганн Радон (1887–1956)
• Карл Менгер (1902–1985)

Связанные области анализа

• Асимптотический анализ - изучает метод описания предельного поведения
• Выпуклый анализ - изучает свойства выпуклых функций и выпуклых множеств
  • Список тем о выпуклости
• Гармонический анализ - изучает представление функций или сигналов как суперпозиций основных волн
  • Список тем гармонического анализа
• Анализ Фурье - изучает ряды Фурье и преобразования Фурье
  • Список тем анализа Фурье
  • Список преобразований, связанных с Фурье
• Комплексный анализ - изучает расширение реального анализа для включения комплексных чисел
• Функциональный анализ - изучает векторные пространства, наделенные предельными структурами, и линейные операторы, действующие на эти пространства.
• Нестандартный анализ - учеба математический анализ используя строгую обработку бесконечно малые.

Смотрите также

• Исчисление, классическое исчисление Ньютона и Лейбница.
• Нестандартное исчисление, строгое применение бесконечно малые, в смысле нестандартный анализ, к классическому исчислению Ньютона и Лейбница.