WikiDer > Процесс Бернулли - Википедия

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В вероятность и статистика, а Процесс Бернулли (названный в честь Джейкоб Бернулли) - конечная или бесконечная последовательность двоичных случайные переменные, так что это случайный процесс с дискретным временем который принимает только два значения, канонически 0 и 1. Компонент Переменные Бернулли Икс_я находятся одинаково распределенные и независимые. Проще говоря, процесс Бернулли - это повторение подбрасывание монеты, возможно, с несправедливой монетой (но с постоянной несправедливостью). Каждая переменная Икс_я в последовательности связана с Бернулли суд или поэкспериментируйте. У всех они одинаковые Распределение Бернулли. Многое из того, что можно сказать о процессе Бернулли, можно также обобщить на более чем два результата (например, процесс получения шестигранной кости); это обобщение известно как Схема Бернулли.

Проблема определения процесса на ограниченной выборке испытаний Бернулли может быть названа проблемой проверка честности монеты.

Определение

А Процесс Бернулли конечная или бесконечная последовательность независимый случайные переменные Икс₁, Икс₂, Икс₃, ..., такие что

• для каждого я, значение Икс_я равно 0 или 1;
• для всех значений явероятность п который Икс_я = 1 то же самое.

Другими словами, процесс Бернулли - это последовательность независимые одинаково распределенные Бернулли испытания.

Независимость испытаний подразумевает, что процесс без памяти. Учитывая, что вероятность п известно, прошлые результаты не дают информации о будущих результатах. (Если п неизвестно, однако прошлое сообщает о будущем косвенно, через заключения оп.)

Если процесс бесконечен, то с любой точки будущие испытания составляют процесс Бернулли, идентичный всему процессу, свойство «начать с нуля».

Интерпретация

Два возможных значения каждого Икс_я часто называют «успехом» и «неудачей». Таким образом, когда результат выражается числом 0 или 1, результат можно назвать количеством успехов на яй "суд".

Две другие распространенные интерпретации ценностей - истина или ложь и да или нет. При любой интерпретации двух значений отдельные переменные Икс_я можно назвать Бернулли испытания с параметром p.

Во многих приложениях время между испытаниями проходит по мере увеличения индекса i. По сути, испытания Икс₁, Икс₂, ... Икс_я, ... происходят в "моменты времени" 1, 2, ...,я, .... Этот ход времени и связанные с ним понятия «прошлое» и «будущее» не являются необходимыми. В большинстве случаев любые Икс_я и Икс_j в процессе - просто две из набора случайных величин, индексированных {1, 2, ...,п}, конечные случаи, или {1, 2, 3, ...}, бесконечные случаи.

Один эксперимент с двумя возможными исходами, часто называемый «успехом» и «неудачей», обычно кодируемый как 1 и 0, может быть смоделирован как Распределение Бернулли.^[1] Несколько случайных величин и распределений вероятностей помимо Бернулли могут быть получены из процесса Бернулли:

• Количество успехов в первом п судебные процессы, в которых биномиальное распределение B (п, п)
• Количество отказов, необходимое для получения р успехов, которые имеют отрицательное биномиальное распределение NB (р, п)
• Количество неудач, необходимое для достижения одного успеха, геометрическое распределение NB (1,п), частный случай отрицательного биномиального распределения

Отрицательные биномиальные переменные можно интерпретировать как случайные. время ожидания.

Формальное определение

Процесс Бернулли можно формализовать на языке вероятностные пространства как случайная последовательность независимых реализаций случайной величины, которая может принимать значения орла или решки. Пространство состояний для отдельного значения обозначается ${ displaystyle 2 = {H, T }.}$

Борелевская алгебра

Рассмотрим счетно бесконечный прямой продукт копий ${ displaystyle 2 = {H, T }}$. Обычно рассматривают либо односторонний набор ${ Displaystyle Omega = 2 ^ { mathbb {N}} = {H, T } ^ { mathbb {N}}}$ или двусторонний набор ${ Displaystyle Omega = 2 ^ { mathbb {Z}}}$. Есть естественный топология на этом пространстве, называемом топология продукта. Множества в этой топологии представляют собой конечные последовательности подбрасываний монеты, т. Е. Конечной длины струны из ЧАС и Т (ЧАС подставки для голов и Т обозначает хвосты), а остальная часть (бесконечно длинная) последовательность принята как "безразлично". Эти наборы конечных последовательностей называются комплекты цилиндров в топологии продукта. Набор всех таких строк образует сигма-алгебра, в частности, Борелевская алгебра. Затем эту алгебру обычно записывают как ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {B}})}$ где элементы ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - последовательности подбрасываний монет конечной длины (цилиндрические множества).

Мера Бернулли

Если шансы перевернуть орел или решку заданы вероятностями ${ displaystyle {p, 1-p }}$, то можно определить естественный мера на пространстве продукта, заданном ${ Displaystyle P = {p, 1-p } ^ { mathbb {N}}}$ (или ${ Displaystyle P = {p, 1-p } ^ { mathbb {Z}}}$ для двустороннего процесса). Другими словами, если дискретная случайная величина Икс имеет Распределение Бернулли с параметром п, где 0 ≤ п ≤ 1, а его функция массы вероятности дан кем-то

${ Displaystyle pX (1) = P (X = 1) = p}$ и ${ Displaystyle pX (0) = P (X = 0) = 1-p}$.

Обозначим это распределение через Ber (п).^[2]

Учитывая набор цилиндров, то есть определенную последовательность результатов подбрасывания монеты ${ displaystyle [ omega _ {1}, omega _ {2}, cdots omega _ {n}]}$ во время ${ displaystyle 1,2, cdots, n}$, вероятность наблюдения этой конкретной последовательности определяется выражением

${ Displaystyle P ([ omega _ {1}, omega _ {2}, cdots, omega _ {n}]) = p ^ {k} (1-p) ^ {n-k}}$

куда k это количество раз, когда ЧАС появляется в последовательности, а п−k это количество раз, когда Т появляется в последовательности. Для вышесказанного существует несколько различных видов обозначений; распространенный - написать

${ Displaystyle P (X_ {1} = x_ {1}, X_ {2} = x_ {2}, cdots, X_ {n} = x_ {n}) = p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}$

где каждый ${ displaystyle X_ {i}}$ является двоичным случайная переменная с ${ displaystyle x_ {i} = [ omega _ {i} = H]}$ в Кронштейн Айверсона обозначение, означающее либо ${ displaystyle 1}$ если ${ displaystyle omega _ {i} = H}$ или же ${ displaystyle 0}$ если ${ displaystyle omega _ {i} = T}$. Эта вероятность ${ displaystyle P}$ обычно называют Мера Бернулли.^[3]

Обратите внимание, что вероятность любой конкретной бесконечно длинной последовательности подбрасываний монеты равна нулю; это потому что ${ Displaystyle lim _ {п к infty} p ^ {n} = 0}$, для любого ${ Displaystyle 0 Leq p <1}$. Вероятность, равная 1, означает, что любая заданная бесконечная последовательность имеет измерять ноль. Тем не менее, можно сказать, что некоторые классы бесконечных последовательностей подбрасываний монеты намного более вероятны, чем другие, это определяется асимптотическое свойство равнораспределения.

В заключение формального определения процесс Бернулли задается тройкой вероятностей ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {B}}, P)}$, как определено выше.

Закон больших чисел, биномиальное распределение и центральная предельная теорема

Допустим, канонический процесс с ${ displaystyle H}$ представлена ${ displaystyle 1}$ и ${ displaystyle T}$ представлена ${ displaystyle 0}$. В закон больших чисел утверждает, что в среднем по последовательности, т.е. ${ displaystyle { bar {X}} _ {n}: = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$, приблизится к ожидаемое значение почти наверняка, то есть события, не удовлетворяющие этому пределу, имеют нулевую вероятность. В ожидаемое значение листать головы, который, как предполагается, представлен 1, задается ${ displaystyle p}$. Фактически, есть

${ Displaystyle mathbb {E} [X_ {i}] = mathbb {P} ([X_ {i} = 1]) = p,}$

для любой заданной случайной величины ${ displaystyle X_ {i}}$ из бесконечной последовательности Бернулли испытания составляющие процесс Бернулли.

Часто бывает интересно узнать, как часто он будет наблюдать ЧАС в последовательности п монета подбрасывает. Это можно получить путем простого подсчета: Учитывая п последовательных подбрасываний монеты, то есть с учетом набора всех возможных струны длины п, номер N(k,п) таких строк, которые содержат k появления ЧАС дается биномиальный коэффициент

${ displaystyle N (k, n) = {n choose k} = { frac {n!} {k! (n-k)!}}}$

Если вероятность перевернуть голову определяется как п, то полная вероятность увидеть строку длиной п с k головы

${ Displaystyle mathbb {P} ([S_ {n} = k]) = {n выберите k} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k},}$

куда ${ Displaystyle S_ {п} = сумма _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$Определенная таким образом вероятностная мера известна как Биномиальное распределение.

Как видно из приведенной выше формулы, если n = 1, Биномиальное распределение превратится в Распределение Бернулли. Итак, мы можем знать, что Распределение Бернулли это как раз частный случай Биномиальное распределение когда n равно 1.

Особый интерес представляет вопрос о ценности ${ displaystyle S_ {n}}$ для достаточно длинной последовательности подбрасываний монеты, т. е. для предела ${ Displaystyle п к infty}$. В этом случае можно использовать Приближение Стирлинга в факториал и напишите

${ displaystyle n! = { sqrt {2 pi n}} ; n ^ {n} e ^ {- n} left (1 + { mathcal {O}} left ({ frac {1}) {n}} right) right)}$

Подставляя это в выражение для п(k,п), получаем Нормальное распределение; это содержание Центральная предельная теорема, и это простейший пример.

Сочетание закона больших чисел с центральной предельной теоремой приводит к интересному и, возможно, удивительному результату: асимптотическое свойство равнораспределения. Выражаясь неформально, можно отметить, что да, при многих подбрасываниях монеты можно наблюдать ЧАС точно п часть времени, и это точно соответствует пику гауссианы. Свойство асимптотического равнораспределения по существу утверждает, что этот пик является бесконечно резким, с бесконечным спадом с обеих сторон. То есть, учитывая набор всех возможных бесконечно длинных строк ЧАС и Т происходящий в процессе Бернулли, этот набор делится на две части: те строки, которые встречаются с вероятностью 1, и те, которые встречаются с вероятностью 0. Это разбиение известно как Колмогорова 0: 1 закон.

Размер этого множества тоже интересен и может быть определен явно: его логарифм и есть энтропия процесса Бернулли. Еще раз рассмотрим набор всех строк длины п. Размер этого набора ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$. Из них вероятна только определенная часть; размер этого набора ${ displaystyle 2 ^ {nH}}$ за ${ Displaystyle H leq 1}$. Используя приближение Стирлинга, подставив его в выражение для п(k,п), решая положение и ширину пика, и, наконец, принимая ${ Displaystyle п к infty}$ можно найти, что

${ Displaystyle H = -p log _ {2} p- (1-p) log _ {2} (1-p)}$

Это значение является Энтропия Бернулли процесса Бернулли. Здесь, ЧАС обозначает энтропию; не путайте с таким же символом ЧАС стоя для головы.

Джон фон Нейман задала любопытный вопрос о процессе Бернулли: возможно ли, чтобы данный процесс изоморфный другому, в смысле изоморфизм динамических систем? Этот вопрос долго не поддавался анализу, но окончательный и полный ответ на него дал Теорема об изоморфизме Орнштейна. Этот прорыв привел к пониманию того, что процесс Бернулли уникален и универсальный; в определенном смысле это наиболее случайный процесс; нет ничего более случайного, чем процесс Бернулли (хотя с этим неформальным утверждением следует быть осторожным; конечно, системы, которые смешивание в определенном смысле «сильнее», чем процесс Бернулли, который является просто эргодическим, но не перемешивающим. Однако такие процессы не состоят из независимых случайных величин: действительно, многие чисто детерминированные, неслучайные системы могут быть перемешивающими).

Динамические системы

Процесс Бернулли также можно понимать как динамическая система, как пример эргодическая система и, в частности, сохраняющая меру динамическая системаодним из нескольких способов. Один способ - как сдвинуть пространство, а другой - как одометр. Они рассматриваются ниже.

Сдвиг Бернулли

Один из способов создать динамическую систему из процесса Бернулли - это сдвинуть пространство. На пространстве продукта существует естественная симметрия перевода ${ Displaystyle Omega = 2 ^ { mathbb {N}}}$ предоставленный оператор смены

${ Displaystyle T (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, cdots) = (X_ {1}, X_ {2}, cdots)}$

Мера Бернулли, определенная выше, инвариантна относительно трансляции; то есть для любого набора цилиндров ${ displaystyle sigma in { mathcal {B}}}$, надо

${ Displaystyle P (T ^ {- 1} ( sigma)) = P ( sigma)}$

и таким образом Мера Бернулли это Мера Хаара; это инвариантная мера на пространстве продукта.

Вместо вероятностной меры ${ Displaystyle P: { mathcal {B}} to mathbb {R}}$рассмотрим вместо этого некоторую произвольную функцию ${ displaystyle f: { mathcal {B}} to mathbb {R}}$. В продвигать

${ displaystyle f circ T ^ {- 1}}$

определяется ${ Displaystyle влево (е circ T ^ {- 1} right) ( sigma) = f (T ^ {- 1} ( sigma))}$ это снова какая-то функция ${ displaystyle { mathcal {B}} to mathbb {R}.}$ Таким образом, карта ${ displaystyle T}$ вызывает другую карту ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {T}}$ на пространстве всех функций ${ displaystyle { mathcal {B}} to mathbb {R}.}$ То есть, учитывая некоторые ${ displaystyle f: { mathcal {B}} to mathbb {R}}$, один определяет

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {T} f = f circ T ^ {- 1}}$

Карта ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {T}}$ это линейный оператор, поскольку (очевидно) ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {T} (f + g) = { mathcal {L}} _ {T} (f) + { mathcal {L}} _ {T} (g)}$ и ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {T} (af) = a { mathcal {L}} _ {T} (f)}$ для функций ${ displaystyle f, g}$ и постоянный ${ displaystyle a}$. Этот линейный оператор называется оператор передачи или Оператор Рюэля – Фробениуса – Перрона.. У этого оператора есть спектр, то есть набор собственные функции и соответствующие собственные значения. Наибольшее собственное значение - это Собственное значение Фробениуса – Перрона, и в данном случае это 1. Соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой: в данном случае это мера Бернулли. То есть, ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {T} (P) = P.}$

Если кто-то ограничивает ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {T}}$ действовать на полиномы, то собственные функции (что любопытно) являются Полиномы Бернулли!^[4][5] Это совпадение названий, по-видимому, не было известно Бернулли.

Карта 2x mod 1

Карта Т : [0,1) → [0,1), ${ Displaystyle х mapsto 2x { bmod {1}}}$ сохраняет Мера Лебега.

Сказанное выше можно уточнить. Учитывая бесконечную строку двоичных цифр ${ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, cdots}$ записывать

${ displaystyle y = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {b_ {n}} {2 ^ {n + 1}}}.}.$

Результирующий ${ displaystyle y}$ действительное число в единичном интервале ${ Displaystyle 0 Leq Y Leq 1.}$ Смена ${ displaystyle T}$ вызывает гомоморфизм, также называемый ${ displaystyle T}$, на единичном интервале. С ${ Displaystyle T (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, cdots) = (b_ {1}, b_ {2}, cdots),}$ легко увидеть, что ${ Displaystyle T (y) = 2y { bmod {1}}.}$ Эта карта называется диадическая трансформация; для дважды бесконечной последовательности бит ${ Displaystyle Omega = 2 ^ { mathbb {Z}},}$ индуцированный гомоморфизм - это Карта Бейкера.

Рассмотрим теперь пространство функций из ${ displaystyle y}$. Учитывая некоторые ${ displaystyle f (y)}$ легко найти, что

${ displaystyle left [{ mathcal {L}} _ {T} f right] (y) = { frac {1} {2}} f left ({ frac {y} {2}} справа) + { frac {1} {2}} f left ({ frac {y + 1} {2}} right)}$

Ограничение действия оператора ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {T}}$ к функциям, которые находятся на многочленах, обнаруживается, что он имеет дискретный спектр данный

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {T} B_ {n} = 2 ^ {- n} B_ {n}}$

где ${ displaystyle B_ {n}}$ являются Полиномы Бернулли. Действительно, многочлены Бернулли подчиняются тождеству

${ displaystyle { frac {1} {2}} B_ {n} left ({ frac {y} {2}} right) + { frac {1} {2}} B_ {n} left ({ frac {y + 1} {2}} right) = 2 ^ {- n} B_ {n} (y)}$

Набор Кантора

Обратите внимание, что сумма

${ displaystyle y = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {b_ {n}} {3 ^ {n + 1}}}}$

дает Функция Кантора, как принято определять. Это одна из причин, почему набор ${ Displaystyle {Ч, Т } ^ { mathbb {N}}}$ иногда называют Кантор набор.

Одометр

Другой способ создать динамическую систему - определить одометр. Неформально это звучит именно так: просто «добавьте единицу» к первой позиции и дайте одометру «перевернуться», используя нести биты как одометр переворачивается. Это не что иное, как сложение по основанию два на множестве бесконечных строк. Поскольку сложение образует группа (математика), а процессу Бернулли уже была задана топология, приведенная выше, это простой пример топологическая группа.

В этом случае преобразование ${ displaystyle T}$ дан кем-то

${ Displaystyle T left (1, точки, 1,0, X_ {k + 1}, X_ {k + 2}, dots right) = left (0, dots, 0,1, X_ { k + 1}, X_ {k + 2}, dots right).}$

Он оставляет меру Бернулли инвариантной только для частного случая ${ displaystyle p = 1/2}$ («честная монета»); иначе нет. Таким образом, ${ displaystyle T}$ это динамическая система с сохранением меры в этом случае, в противном случае это просто консервативная система.

Последовательность Бернулли

Период, термин Последовательность Бернулли часто используется неофициально для обозначения реализация процесса Бернулли, однако этот термин имеет совершенно иное формальное определение, приведенное ниже.

Предположим, что процесс Бернулли формально определен как единственная случайная величина (см. Предыдущий раздел). Для каждой бесконечной последовательности Икс подбрасываний монеты, есть последовательность целых чисел

${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {x} = {п in mathbb {Z}: X_ {n} (x) = 1 } ,}$

называется Последовательность Бернулли^{[требуется проверка]} связанный с процессом Бернулли. Например, если Икс представляет собой последовательность подбрасывания монеты, тогда связанная с ней последовательность Бернулли представляет собой список натуральных чисел или моментов времени, для которых результат подбрасывания монеты равен головы.

Определенная таким образом последовательность Бернулли ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {x}}$ также является случайным подмножеством набора индексов, натуральные числа ${ Displaystyle mathbb {N}}$.

Почти все Последовательности Бернулли ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {x}}$ находятся эргодические последовательности.^{[требуется проверка]}

Извлечение случайности

Из любого процесса Бернулли можно вывести процесс Бернулли с п = 1/2 на экстрактор фон Неймана, раннее экстрактор случайности, который фактически извлекает равномерную случайность.

Базовый экстрактор фон Неймана

Представьте наблюдаемый процесс как последовательность нулей и единиц или битов и сгруппируйте этот входной поток в неперекрывающиеся пары последовательных битов, например (11) (00) (10) .... Затем для каждой пары

• если биты равны, отбросить;
• если биты не равны, вывести первый бит.

В этой таблице приведены результаты вычислений.

Например, входной поток из восьми бит 10011011 были бы сгруппированы в пары как (10)(01)(10)(11). Затем, согласно приведенной выше таблице, эти пары транслируются в выходные данные процедуры:(1)(0)(1)() (=101).

В выходном потоке 0 и 1 равновероятны, так как 10 и 01 одинаково вероятны в оригинале, причем оба имеют вероятность п(1−п) = (1−п)п. Это извлечение однородной случайности не требует, чтобы входные испытания были независимыми, только некоррелированный. В общем, это работает для любого заменяемая последовательность битов: все последовательности, которые являются конечными перестановками, равновероятны.

Экстрактор фон Неймана использует два входных бита для создания либо нулевого, либо одного выходных битов, поэтому выходной сигнал короче входного как минимум в 2 раза. В среднем вычисление отбрасывает пропорцию п² + (1 − п)² входных пар (00 и 11), что близко к единице, когда п близок к нулю или единице и минимизируется на 1/4, когда п = 1/2 для исходного процесса (в этом случае выходной поток в среднем составляет 1/4 длины входного потока).

Фон Неймана (классическая) основная операция псевдокод:

if (Bit1 ≠ Bit2) {output (Bit1)}

Итерированный экстрактор фон Неймана

Эта секция возможно содержит несоответствующие или неверно истолкованные цитаты это не проверять текст. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста помоги улучшить эту статью проверяя неточности цитирования. (Январь 2014) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Это снижение эффективности или растрата случайности, присутствующей во входном потоке, могут быть смягчены путем повторения алгоритма по входным данным. Таким образом можно сделать вывод «сколь угодно близким к границе энтропии».^[6]

Повторяющаяся версия алгоритма фон Неймана, также известная как Advanced Multi-Level Strategy (AMLS),^[7] был представлен Ювалем Пересом в 1992 году.^[6] Он работает рекурсивно, перерабатывая «бесполезную случайность» из двух источников: последовательность отбрасывания / не отбрасывания и значения отброшенных пар (0 для 00 и 1 для 11). Интуитивно он основан на том факте, что, учитывая уже сгенерированную последовательность, оба этих источника все еще являются последовательностями битов, которые можно обменивать, и, таким образом, имеют право на еще один раунд извлечения. Хотя такое создание дополнительных последовательностей может повторяться бесконечно для извлечения всей доступной энтропии, требуется бесконечное количество вычислительных ресурсов, поэтому количество итераций обычно фиксируется на низком значении - это значение либо фиксируется заранее, либо рассчитывается во время выполнения.

Более конкретно, во входной последовательности алгоритм использует входные биты парами, генерируя выходные данные вместе с двумя новыми последовательностями:

(Если длина ввода нечетная, последний бит полностью отбрасывается.) Затем алгоритм рекурсивно применяется к каждой из двух новых последовательностей, пока ввод не станет пустым.

Пример: входной поток сверху, 10011011, обрабатывается так:

Начиная с шага 1, входные данные становятся новой последовательностью1 последнего шага для продвижения в этом процессе. Таким образом, результат (101)(1)(0)()()() (=10110), так что из восьми битов ввода было сгенерировано пять битов вывода, в отличие от трех битов в базовом алгоритме выше. Постоянный вывод ровно 2 бита на раунд (по сравнению с переменной от 0 до 1 бит в классической VN) также позволяет реализовать реализации с постоянным временем, устойчивые к время атаки.

Псевдокод основной операции фон Неймана – Переса (итерация):

if (Bit1 ≠ Bit2) {output (1, Sequence1) output (Bit1)} else {output (0, Sequence1) output (Bit1, Sequence2)}

В 2016 году была представлена ​​еще одна настройка, основанная на наблюдении, что канал Sequence2 не обеспечивает большой пропускной способности, а аппаратная реализация с конечным числом уровней может выиграть от отказа от него раньше в обмен на обработку большего количества уровней Sequence1.^[8]

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Карл В. Хелстрем, Вероятностные и случайные процессы для инженеров, (1984) Macmillan Publishing Company, Нью-Йорк ISBN 0-02-353560-1.

внешняя ссылка

• Использование диаграммы двоичного дерева для описания процесса Бернулли