WikiDer > Точечный процесс Пуассона

Визуальное изображение процесса точки Пуассона, начиная с 0, в котором приращения происходят непрерывно и независимо со скоростью λ.

В вероятность, статистика и связанные области, a Точечный процесс Пуассона это тип случайный математический объект который состоит из точки случайно расположенный на математическое пространство.^[1] Точечный процесс Пуассона часто называют просто Пуассоновский процесс, но его еще называют Случайная мера Пуассона, Поле случайных точек Пуассона или же Поле точки Пуассона. Этот точечный процесс имеет удобные математические свойства,^[2] что привело к тому, что это часто определялось в Евклидово пространство и используется как математическая модель для кажущихся случайными процессов во многих дисциплинах, таких как астрономия,^[3] биология,^[4] экология,^[5] геология,^[6] сейсмология,^[7] физика,^[8] экономика,^[9] обработка изображений,^[10] и телекоммуникации.^[11][12]

Процесс назван в честь Французский математик Симеон Дени Пуассон несмотря на то, что Пуассон никогда не изучал этот процесс. Его название происходит от того факта, что если набор случайных точек в некотором пространстве образует пуассоновский процесс, то количество точек в области конечного размера равно случайная переменная с распределение Пуассона. Этот процесс был обнаружен независимо и неоднократно в нескольких случаях, включая эксперименты по радиоактивному распаду, поступлению телефонных звонков и математике страхования.^[13][14]

Точечный процесс Пуассона часто определяется на реальная линия, где его можно рассматривать как случайный процесс. В этом параметре он используется, например, в теория массового обслуживания^[15] для моделирования случайных событий, таких как прибытие клиентов в магазин, телефонные звонки при обмене или возникновение землетрясения, распределенные во времени. в самолет, точечный процесс, также известный как пространственный пуассоновский процесс,^[16] может представлять местоположение рассеянных объектов, таких как передатчики в беспроводная сеть,^{[11][17][18][19]} частицы столкновение с детектором или деревья в лесу.^[20] В этом случае процесс часто используется в математических моделях и в связанных областях пространственных точечных процессов,^[21] стохастическая геометрия,^[1] пространственная статистика ^[21][22] и теория перколяции континуума.^[23] Точечный процесс Пуассона можно определить на более Абстрактные пробелы. Помимо приложений, точечный процесс Пуассона сам по себе является объектом математического исследования.^[2] Во всех настройках процесс точки Пуассона обладает тем свойством, что каждая точка стохастически независимый ко всем остальным точкам процесса, поэтому его иногда называют чисто или же полностью случайный процесс.^[24] Несмотря на его широкое использование в качестве стохастической модели явлений, представленных в виде точек, внутренняя природа процесса подразумевает, что он неадекватно описывает явления, в которых существует достаточно сильное взаимодействие между точками. Это вдохновило на предложение других точечных процессов, некоторые из которых построены с точечным процессом Пуассона, которые стремятся уловить такое взаимодействие.^[25]

Точечный процесс зависит от одного математического объекта, который, в зависимости от контекста, может быть постоянный, а локально интегрируемая функция или, в более общих настройках, Радоновая мера.^[26] В первом случае константа, известная как ставка или же интенсивность, это средний плотность точек пуассоновского процесса, находящихся в некоторой области пространства. Результирующий точечный процесс называется однородный или же стационарный точечный процесс Пуассона.^[27] Во втором случае точечный процесс называется неоднородный или же неоднородный Точечный процесс Пуассона, а средняя плотность точек зависит от расположения нижележащего пространства точечного процесса Пуассона.^[28] Слово точка часто опускается,^[29][2] но есть и другие Пуассоновские процессы объектов, которые вместо точек состоят из более сложных математических объектов, таких как линии и полигоны, и такие процессы могут быть основаны на точечном процессе Пуассона.^[30]

Обзор определений

В зависимости от настройки процесс имеет несколько эквивалентных определений.^[31] а также определения различной общности, обусловленные его многочисленными приложениями и характеристиками.^[32] Точечный процесс Пуассона можно определить, изучить и использовать в одном измерении, например, на реальной линии, где его можно интерпретировать как процесс подсчета или как часть модели организации очередей;^[33][34] в более высоких измерениях, таких как самолет, где он играет роль в стохастическая геометрия^[1] и пространственная статистика;^[35] или в более общих математических пространствах.^[36] Следовательно, обозначения, терминология и уровень математической строгости, используемые для определения и изучения точечного процесса Пуассона и точечных процессов в целом, различаются в зависимости от контекста.^[37]

Несмотря на все это, точечный процесс Пуассона имеет два ключевых свойства - свойство Пуассона и свойство независимости, которые играют важную роль во всех параметрах настройки, где используется точечный процесс Пуассона.^[26][38] Эти два свойства не являются логически независимыми; действительно, независимость подразумевает пуассоновское распределение количества точек, но не наоборот.^[а]

Распределение Пуассона количества точек

Точечный процесс Пуассона описывается через распределение Пуассона. Распределение Пуассона - это распределение вероятностей случайная переменная ${ displaystyle textstyle N}$ (называется Случайная величина Пуассона) такая, что вероятность того, что ${ displaystyle textstyle N}$ равно ${ displaystyle textstyle n}$ дан кем-то:

${ displaystyle P {N = n } = { frac { Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda}}$

куда ${ displaystyle textstyle n!}$ обозначает ${ displaystyle textstyle n}$ факториал а параметр ${ displaystyle textstyle Lambda}$ определяет форму распределения. (Фактически, ${ displaystyle textstyle Lambda}$ равно ожидаемой стоимости ${ displaystyle textstyle N}$.)

По определению точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что количество точек в ограниченной области основного пространства процесса является случайной величиной с распределением Пуассона.^[38]

Полная независимость

Рассмотрим набор непересекающийся и ограниченные подобласти нижележащего пространства. По определению, количество точек точечного процесса Пуассона в каждой ограниченной подобласти будет полностью независимым от всех остальных.

Это свойство известно под несколькими названиями, такими как полная случайность, полная независимость,^[39] или же независимое рассеяние ^[40][41] и является общим для всех точечных процессов Пуассона. Другими словами, отсутствует взаимодействие между разными регионами и точками в целом,^[42] что мотивирует процесс Пуассона, который иногда называют чисто или же полностью случайный процесс.^[39]

Однородный точечный процесс Пуассона.

Если точечный процесс Пуассона имеет параметр вида ${ displaystyle textstyle Lambda = nu lambda}$, куда ${ displaystyle textstyle nu}$ является мерой Лебега (то есть присваивает множествам длину, площадь или объем) и ${ displaystyle textstyle lambda}$ является константой, то точечный процесс называется однородным или стационарным точечным пуассоновским процессом. Параметр, называемый ставка или же интенсивность, связано с ожидаемым (или средним) числом точек Пуассона, существующих в некоторой ограниченной области,^[43][44] куда ставка обычно используется, когда основное пространство имеет одно измерение.^[43] Параметр ${ displaystyle textstyle lambda}$ можно интерпретировать как среднее количество точек на некоторую единицу протяженности, например длина, площадь, объем, или же время, в зависимости от основного математического пространства, и его также называют средняя плотность или же средняя скорость;^[45] видеть Терминология.

Интерпретируется как процесс подсчета

Однородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, можно определить как процесс подсчета, тип случайного процесса, который можно обозначить как ${ Displaystyle textstyle {N (т), т geq 0 }}$.^[31][34] Процесс подсчета представляет собой общее количество происшествий или событий, которые произошли до времени включительно. ${ displaystyle textstyle t}$. Процесс счета - это однородный процесс счета Пуассона со скоростью ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ если он имеет следующие три свойства:^[31][34]

• ${ textstyle N (0) = 0;}$
• имеет независимые приращения; и
• количество событий (или точек) в любом интервале длины ${ textstyle t}$ случайная величина Пуассона с параметром (или средним) ${ textstyle lambda t}$.

Последнее свойство подразумевает:

${ displaystyle mathbb {E} [N (t)] = lambda t.}$

Другими словами, вероятность случайной величины ${ textstyle N (t)}$ будучи равным ${ textstyle n}$ дан кем-то:

${ displaystyle mathbb {P} {N (t) = n } = { frac {( lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda t}.}$

Процесс подсчета Пуассона также можно определить, указав, что разницы во времени между событиями процесса подсчета являются экспоненциальными переменными со средним значением. ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$.^[46] Разница во времени между событиями или прибытием известна как межприбытие ^[47] или же взаимодействие раз.^[46]

Интерпретируется как точечный процесс на реальной линии

Интерпретируется как точечный процесс, точечный процесс Пуассона можно определить на реальная линия учитывая количество точек процесса в интервале ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Для однородного точечного процесса Пуассона на вещественной прямой с параметром ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, вероятность этого случайного числа точек, записанная здесь как ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$, будучи равным некоторым подсчет числа ${ displaystyle textstyle n}$ дан кем-то:^[48]

${ Displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ lambda (b-a)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda (b-a)},}$

Для некоторого положительного целого числа ${ displaystyle textstyle k}$однородный точечный процесс Пуассона имеет конечномерное распределение, задаваемое формулой:^[48]

${ Displaystyle P {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {[ lambda (b_ {i} -a_ {i})] ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} e ^ {- lambda (b_ {i} -a_ {i})} ,}$

где реальные числа ${ displaystyle textstyle a_ {i}$.

Другими словами, ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ - случайная величина Пуассона со средним ${ displaystyle textstyle lambda (b-a)}$, куда ${ displaystyle textstyle a leq b}$. Кроме того, количество точек в любых двух непересекающихся интервалах, скажем, ${ displaystyle textstyle (а_ {1}, b_ {1}]}$ и ${ displaystyle textstyle (а_ {2}, b_ {2}]}$ независимы друг от друга, и это распространяется на любое конечное число непересекающихся интервалов.^[48] В контексте теории массового обслуживания точку, существующую (в интервале), можно рассматривать как мероприятие, но это отличается от слова мероприятие в смысле теории вероятностей.^[b] Следует, что ${ displaystyle textstyle lambda}$ ожидаемое количество Прибытие которые происходят в единицу времени.^[34]

Ключевые свойства

Предыдущее определение имеет две важные особенности, общие для точечных процессов Пуассона:^[48][26]

• количество приходов в каждом конечном интервале имеет распределение Пуассона;
• Количество приходов в непересекающиеся интервалы - независимые случайные величины.

Кроме того, у него есть третья особенность, связанная только с однородным точечным процессом Пуассона:^[49]

• распределение Пуассона числа приходов в каждом интервале ${ Displaystyle textstyle (а + т, б + т]}$ зависит только от длины интервала ${ displaystyle textstyle b-a}$.

Другими словами, для любого конечного ${ displaystyle textstyle t> 0}$, случайная величина ${ displaystyle textstyle N (a + t, b + t]}$ не зависит от ${ displaystyle textstyle t}$, поэтому его еще называют стационарным пуассоновским процессом.^[48]

Закон больших чисел

Количество ${ displaystyle textstyle lambda (b_ {i} -a_ {i})}$ можно интерпретировать как ожидаемое или средний количество точек в интервале ${ displaystyle textstyle (а_ {я}, b_ {я}]}$, а именно:

${ displaystyle E {N (a_ {i}, b_ {i}] } = lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

куда ${ displaystyle textstyle E}$ обозначает ожидание оператор. Другими словами, параметр ${ displaystyle textstyle lambda}$ пуассоновского процесса совпадает с плотность очков. Более того, однородный точечный процесс Пуассона придерживается своей собственной формы (сильного) закона больших чисел.^[50] Точнее, с вероятностью один:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} { frac {N (t)} {t}} = lambda,}$

куда ${ displaystyle textstyle lim}$ обозначает предел функции и ${ displaystyle lambda}$ ожидаемое количество прибытий в единицу времени.

Свойство без памяти

Расстояние между двумя последовательными точками точечного процесса на реальной прямой будет экспоненциальная случайная величина с параметром ${ displaystyle textstyle lambda}$ (или, что эквивалентно, означает ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$). Это означает, что точки имеют без памяти свойство: наличие одной точки в конечном интервале не влияет на вероятность (распределение) существования других точек,^[51][52] но это свойство не имеет естественной эквивалентности, когда процесс Пуассона определен в пространстве с более высокими измерениями.^[53]

Упорядоченность и простота

Точечный процесс со стационарными приращениями иногда называют аккуратный^[54] или же обычный если:^[55]

${ Displaystyle п {N (т, т + дельта]> 1 } = о ( дельта),}$

куда маленькая нотация используется. Точечный процесс называется простой точечный процесс когда вероятность совпадения любой из двух его точек в одном и том же положении на нижележащем пространстве равна нулю. Для точечных процессов в целом на реальной линии свойство упорядоченности подразумевает, что процесс прост,^[56] что имеет место для однородного точечного процесса Пуассона.^[57]

Характеристика мартингейла

На вещественной прямой однородный точечный процесс Пуассона связан с теорией мартингалы с помощью следующей характеристики: точечный процесс является однородным точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда

${ Displaystyle N (- infty, т] -t,}$

это мартингал.^[58]

Связь с другими процессами

На самом деле, процесс Пуассона представляет собой тип непрерывного времени. Марковский процесс известный как процесс рождения, частный случай процесс рождения – смерти (только рождаемость и ноль смертей).^[59][60] Более сложные процессы с Марковская собственность, Такие как Марковские процессы прибытия, были определены там, где пуассоновский процесс является частным случаем.^[46]

Ограничено до полулинии

Если рассматривать однородный пуассоновский процесс только на полупрямой ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$, что может иметь место, когда ${ displaystyle textstyle t}$ представляет время^[31] тогда результирующий процесс не является полностью неизменным при переводе.^[53] В этом случае пуассоновский процесс больше не является стационарным, согласно некоторым определениям стационарности.^[27]

Приложения

Было много применений однородного пуассоновского процесса на реальной прямой в попытке смоделировать, казалось бы, случайные и независимые события. Он играет фундаментальную роль в теория массового обслуживания, которая представляет собой поле вероятности разработки подходящих стохастических моделей для представления случайного появления и ухода определенных явлений.^[15][46] Например, клиенты, прибывающие и обслуживаемые, или телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, могут быть изучены с помощью методов теории массового обслуживания.

Обобщения

Однородный пуассоновский процесс на вещественной прямой считается одним из простейших случайных процессов для подсчета случайного числа точек.^[61][62] Этот процесс можно обобщить по-разному. Одним из возможных обобщений является расширение распределения времени между прибытиями из экспоненциального распределения на другие распределения, что вводит стохастический процесс, известный как процесс обновления. Другое обобщение - определение точечного процесса Пуассона на пространствах более высоких измерений, таких как плоскость.^[63]

Процесс пространственной точки Пуассона

А пространственный пуассоновский процесс - точечный процесс Пуассона, определенный на плоскости ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$.^[58][64] Для его математического определения сначала рассматривается ограниченный, открытый или закрытый (или, точнее, Измеримый по Борелю) область, край ${ displaystyle textstyle B}$ самолета. Количество баллов точечного процесса ${ displaystyle textstyle N}$ существующие в этом регионе ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {2}}$ случайная величина, обозначаемая ${ displaystyle textstyle N (B)}$. Если точки принадлежат однородному пуассоновскому процессу с параметром ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, то вероятность ${ displaystyle textstyle n}$ точки, существующие в ${ displaystyle textstyle B}$ дан кем-то:

${ Displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

куда ${ displaystyle textstyle | B |}$ обозначает площадь ${ displaystyle textstyle B}$.

Для некоторого конечного целого числа ${ Displaystyle textstyle к geq 1}$, мы можем дать конечномерное распределение однородного точечного процесса Пуассона, рассмотрев сначала набор непересекающихся ограниченных борелевских (измеримых) множеств ${ displaystyle textstyle B_ {1}, dots, B_ {k}}$. Количество баллов точечного процесса ${ displaystyle textstyle N}$ существующие в ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$ можно записать как ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$. Тогда однородный точечный процесс Пуассона с параметром ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ имеет конечномерное распределение:^[65]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}.}$

Приложения

Согласно одному статистическому исследованию, положение базовых станций сотовой или мобильной связи в австралийском городе Сидней, изображенные выше, напоминают реализацию однородного точечного процесса Пуассона, в то время как во многих других городах мира этого не происходит, и требуются другие точечные процессы.^[66]

Пространственный точечный процесс Пуассона занимает видное место в пространственная статистика,^[21][22] стохастическая геометрия, и теория перколяции континуума.^[23] Этот точечный процесс применяется в различных физических науках, таких как модель, разработанная для обнаружения альфа-частиц. В последние годы его часто использовали для моделирования кажущихся неупорядоченными пространственных конфигураций определенных сетей беспроводной связи.^[17][18][19] Например, были разработаны модели сотовых или мобильных телефонных сетей, в которых предполагается, что передатчики телефонной сети, известные как базовые станции, размещаются в соответствии с однородным точечным процессом Пуассона.

Определено в более высоких измерениях

Предыдущий гомогенный точечный процесс Пуассона немедленно распространяется на более высокие измерения, заменяя понятие площади объемом (большой размерности). Для некоторой ограниченной области ${ displaystyle textstyle B}$ евклидова пространства ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, если точки образуют однородный пуассоновский процесс с параметром ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, то вероятность ${ displaystyle textstyle n}$ точки, существующие в ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ дан кем-то:

${ Displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

куда ${ displaystyle textstyle | B |}$ теперь обозначает ${ displaystyle textstyle d}$-размерный объем ${ displaystyle textstyle B}$. Кроме того, для набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств ${ displaystyle textstyle B_ {1}, dots, B_ {k} subset { textbf {R}} ^ {d}}$, позволять ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$ обозначим количество точек ${ displaystyle textstyle N}$ существующие в ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$. Тогда соответствующий однородный точечный процесс Пуассона с параметром ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ имеет конечномерное распределение:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}.}$

Однородные точечные процессы Пуассона не зависят от положения нижележащего пространства через его параметр ${ displaystyle textstyle lambda}$, что означает, что это как стационарный процесс (инвариантный к переносу), так и изотропный (инвариантный к вращению) случайный процесс.^[27] Как и в одномерном случае, однородный точечный процесс ограничен некоторым ограниченным подмножеством ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, то в зависимости от некоторых определений стационарности процесс перестает быть стационарным.^[27][53]

Очки распределяются равномерно

Если однородный точечный процесс определяется на реальной линии как математическая модель для возникновения какого-либо явления, то он имеет характерную черту, заключающуюся в том, что положения этих явлений или событий на реальной линии (часто интерпретируемой как время) будут равномерно распределены. Более конкретно, если событие происходит (в соответствии с этим процессом) в интервале ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ куда ${ displaystyle textstyle a leq b}$, то его местоположение будет равномерной случайной величиной, определенной на этом интервале.^[65] Кроме того, однородный точечный процесс иногда называют униформа Точечный процесс Пуассона (см. Терминология). Это свойство однородности распространяется на более высокие измерения в декартовых координатах, но не, например, в полярных координатах.^[68][69]

Неоднородный точечный процесс Пуассона.

График неоднородного точечного процесса Пуассона на прямой. События отмечены черными крестиками, скорость зависит от времени. ${ displaystyle lambda (t)}$ задается функцией, отмеченной красным.

В неоднородный или же неоднородный Точечный процесс Пуассона (видеть Терминология) является точечным процессом Пуассона с параметром Пуассона, установленным как некоторая зависящая от местоположения функция в нижележащем пространстве, на котором определен процесс Пуассона. Для евклидова пространства ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, это достигается введением локально интегрируемой положительной функции ${ Displaystyle textstyle lambda (х)}$, куда ${ displaystyle textstyle x}$ это ${ displaystyle textstyle d}$-размерная точка, расположенная в ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, такое, что для любой ограниченной области ${ displaystyle textstyle B}$ (${ displaystyle textstyle d}$-мерный) объемный интеграл ${ Displaystyle textstyle lambda (х)}$ по региону ${ displaystyle textstyle B}$ конечно. Другими словами, если этот интеграл, обозначенный ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$, является:^[44]

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} lambda (x) , mathrm {d} x < infty,}$

куда ${ displaystyle textstyle { mathrm {d} x}}$ это (${ displaystyle textstyle d}$-мерный) элемент объема,^[c] то для любого набора непересекающихся ограниченных Измеримый по Борелю наборы ${ displaystyle textstyle B_ {1}, dots, B_ {k}}$, неоднородный пуассоновский процесс с функцией (интенсивности) ${ Displaystyle textstyle lambda (х)}$ имеет конечномерное распределение:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( Lambda ( B_ {i})) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- Lambda (B_ {i})}.}.}$

Более того, ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$ интерпретируется как ожидаемое количество точек пуассоновского процесса, находящихся в ограниченной области ${ displaystyle textstyle B}$, а именно

${ Displaystyle Lambda (B) = E [N (B)].}$

Определено на реальной линии

На вещественной прямой неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона имеет среднюю меру, задаваемую одномерным интегралом. Для двух вещественных чисел ${ displaystyle textstyle a}$ и ${ displaystyle textstyle b}$, куда ${ displaystyle textstyle a leq b}$, обозначим через ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ количество точек неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности ${ Displaystyle textstyle lambda (т)}$ происходящее в интервале ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Вероятность ${ displaystyle textstyle n}$ точки, существующие в указанном выше интервале ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ дан кем-то:

${ displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ Lambda (a, b)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda (a, b )}.}$

где среднее значение или мера интенсивности:

${ displaystyle Lambda (a, b) = int _ {a} ^ {b} lambda (t) , mathrm {d} t,}$

что означает, что случайная величина ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ - случайная величина Пуассона со средним ${ Displaystyle textstyle E {N (a, b] } = Lambda (a, b)}$.

Особенность одномерной постановки состоит в том, что неоднородный пуассоновский процесс можно преобразовать в однородный с помощью монотонное преобразование или отображение, которое достигается с помощью обратного ${ displaystyle textstyle Lambda}$.^[70][71]

Интерпретация процесса подсчета

Неоднородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, также иногда определяют как процесс счета. При такой интерпретации процесс, который иногда записывают как ${ Displaystyle textstyle {N (т), т geq 0 }}$, представляет общее количество вхождений или событий, которые произошли до времени включительно ${ displaystyle textstyle t}$. Процесс счета называется неоднородным процессом счета Пуассона, если он имеет четыре свойства:^[34][72]

• ${ Displaystyle textstyle N (0) = 0;}$
• имеет независимые приращения;
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) = 1 } = lambda (t) h + o (h);}$ и
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) geq 2 } = o (h),}$

куда ${ Displaystyle textstyle о (ч)}$ асимптотический или маленькая нотация за ${ Displaystyle textstyle о (ч) / ч rightarrow 0}$ в качестве ${ displaystyle textstyle h rightarrow 0}$В случае точечных процессов с рефрактерностью (например, нейронных спайков) применяется более сильная версия свойства 4:^[73] ${ Displaystyle P (N (t + h) -N (t) geq 2) = o (h ^ {2})}$.

Из перечисленных выше свойств следует, что ${ displaystyle textstyle N (t + h) -N (t)}$ - случайная величина Пуассона с параметром (или средним)

${ displaystyle E [N (t + h) -N (t)] = int _ {t} ^ {t + h} lambda (s) , ds,}$

что подразумевает

${ displaystyle E [N (h)] = int _ {0} ^ {h} lambda (s) , ds.}$

Пространственный процесс Пуассона

Неоднородный пуассоновский процесс, заданный на плоскости ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$ называется пространственный пуассоновский процесс^[16] Он определяется функцией интенсивности, и его мера интенсивности получается путем выполнения поверхностного интеграла от функции интенсивности по некоторой области.^[20][74] Например, его функция интенсивности (как функция декартовых координат ${ textstyle x}$ и ${ displaystyle textstyle y}$) возможно

${ displaystyle lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

поэтому соответствующая мера интенсивности дается поверхностным интегралом

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} , mathrm {d} x , mathrm {d} y, }$

куда ${ displaystyle textstyle B}$ некоторая ограниченная область на плоскости ${ textstyle mathbb {R} ^ {2}}$.

В высших измерениях

В плоскости, ${ textstyle Lambda (B)}$ соответствует поверхностному интегралу, а в ${ textstyle mathbb {R} ^ {d}}$ интеграл принимает вид (${ textstyle d}$-мерный) объемный интеграл.

Приложения

Когда реальная линия интерпретируется как время, неоднородный процесс используется в областях подсчета процессов и в теории массового обслуживания.^[72][75] Примеры явлений, которые были представлены или проявлялись как неоднородный точечный процесс Пуассона, включают:

• Голы в футбольном матче.^[76]
• Дефекты печатной платы^[77]

На плоскости точечный процесс Пуассона важен в смежных дисциплинах стохастической геометрии.^[1][35] и пространственная статистика.^[21][22] Измерение интенсивности этого точечного процесса зависит от местоположения нижележащего пространства, что означает, что его можно использовать для моделирования явлений с плотностью, которая варьируется в некоторой области. Другими словами, явления могут быть представлены как точки, плотность которых зависит от местоположения.^[20] Эти процессы использовались в различных дисциплинах и включают изучение лосося и морских вшей в океанах,^[78] лесное хозяйство^[5] и поисковые проблемы.^[79]

Интерпретация функции интенсивности

Функция интенсивности Пуассона ${ textstyle lambda (х)}$ имеет интерпретацию, которая считается интуитивной,^[20] с элементом объема ${ textstyle mathrm {d} x}$ в бесконечно малом смысле: ${ textstyle lambda (x) , mathrm {d} x}$ - бесконечно малая вероятность того, что точка точечного процесса Пуассона существует в области пространства с объемом ${ textstyle mathrm {d} x}$ расположен в ${ textstyle x}$.^[20]

Например, для однородного точечного процесса Пуассона на реальной прямой вероятность обнаружения единственной точки процесса на небольшом интервале ширины ${ textstyle delta}$ примерно ${ textstyle lambda delta x}$. Фактически, такая интуиция - это то, как иногда вводится точечный процесс Пуассона и выводится его распределение.^[80][42][81]

Простой точечный процесс

Если точечный процесс Пуассона имеет меру интенсивности, которая является локально конечной и диффузной (или неатомной), то это простой точечный процесс. Для простого точечного процесса вероятность того, что точка существует в одной точке или месте в нижележащем пространстве (состоянии), равна нулю или единице. Это означает, что с вероятностью один никакие две (или более) точки точечного процесса Пуассона не совпадают по местоположению в нижележащем пространстве.^[82][18][83]

Моделирование

Моделирование точечного процесса Пуассона на компьютере обычно выполняется в ограниченной области пространства, известной как моделирование. окно, и требует двух шагов: подходящего создания случайного числа точек и затем подходящего размещения точек случайным образом. Оба этих шага зависят от конкретного моделируемого точечного процесса Пуассона.^[84][85]

Шаг 1: количество баллов

Количество баллов ${ textstyle N}$ в окне, обозначенное здесь ${ textstyle W}$, необходимо смоделировать, что делается с помощью (псевдо) -генерация случайных чисел функция, способная моделировать случайные величины Пуассона.

Однородный корпус

Для однородного случая с постоянной ${ textstyle lambda}$, среднее значение пуассоновской случайной величины ${ textstyle N}$ установлен на ${ textstyle lambda | W |}$ куда ${ textstyle | W |}$ длина, площадь или (${ textstyle d}$-размерный) объем ${ textstyle W}$.

Неоднородный корпус

Для неоднородного случая ${ textstyle lambda | W |}$ заменяется на (${ textstyle d}$-мерный) объемный интеграл

${ Displaystyle Lambda (W) = int _ {W} lambda (x) , mathrm {d} x}$

Шаг 2: Размещение точек

Второй этап требует случайного размещения ${ displaystyle textstyle N}$ точки в окне ${ displaystyle textstyle W}$.

Однородный корпус

Для однородного случая в одном измерении все точки равномерно и независимо размещаются в окне или интервале ${ displaystyle textstyle W}$. Для больших размеров в декартовой системе координат каждая координата равномерно и независимо размещается в окне. ${ displaystyle textstyle W}$. Если окно не является подпространством декартова пространства (например, внутри единичной сферы или на поверхности единичной сферы), то точки не будут равномерно размещены в ${ displaystyle textstyle W}$, и подходящее изменение координат (с декартовых) не требуется.^[84]

Неоднородный корпус

Для неоднородных можно использовать несколько различных методов в зависимости от характера функции интенсивности. ${ Displaystyle textstyle lambda (х)}$.^[84] Если функция интенсивности достаточно проста, то могут быть сгенерированы независимые и случайные неоднородные (декартовы или другие) координаты точек. Например, моделирование точечного процесса Пуассона в круглом окне может быть выполнено для изотропной функции интенсивности (в полярных координатах ${ displaystyle textstyle r}$ и ${ displaystyle textstyle theta}$), подразумевая, что он является вращательным или независимым от ${ displaystyle textstyle theta}$ но зависит от ${ displaystyle textstyle r}$, заменой переменной в ${ displaystyle textstyle r}$ если функция интенсивности достаточно проста.^[84]

Для более сложных функций интенсивности можно использовать прием-отказ, which consists of using (or 'accepting') only certain random points and not using (or 'rejecting') the other points, based on the ratio:^[86]

${displaystyle {frac {lambda (x_{i})}{Lambda (W)}}={frac {lambda (x_{i})}{int _{W}lambda (x),mathrm {d} x.}}}$

куда ${displaystyle extstyle x_{i}}$ is the point under consideration for acceptance or rejection.

General Poisson point process

The Poisson point process can be further generalized to what is sometimes known as the general Poisson point process^[20][87] или же general Poisson process^[74] by using a Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$, which is locally-finite measure. In general, this Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ can be atomic, which means multiple points of the Poisson point process can exist in the same location of the underlying space. In this situation, the number of points at ${displaystyle extstyle x}$ is a Poisson random variable with mean ${displaystyle extstyle Lambda ({x})}$.^[87] But sometimes the converse is assumed, so the Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ является diffuse or non-atomic.^[20]

A point process ${displaystyle extstyle {N}}$ is a general Poisson point process with intensity ${displaystyle extstyle Lambda }$ if it has the two following properties:^[20]

• the number of points in a bounded Borel set ${displaystyle extstyle B}$ is a Poisson random variable with mean ${displaystyle extstyle Lambda (B)}$. In other words, denote the total number of points located in ${displaystyle extstyle B}$ к ${displaystyle extstyle {N}(B)}$, then the probability of random variable ${displaystyle extstyle {N}(B)}$ being equal to ${displaystyle extstyle n}$ is given by:

${displaystyle P{{N}(B)=n}={frac {(Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-Lambda (B)}}$

• the number of points in ${displaystyle extstyle n}$ disjoint Borel sets forms ${displaystyle extstyle n}$ independent random variables.

The Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ maintains its previous interpretation of being the expected number of points of ${displaystyle extstyle {N}}$ located in the bounded region ${displaystyle extstyle B}$, а именно

${displaystyle Lambda (B)=E[{N}(B)].}$

Furthermore, if ${displaystyle extstyle Lambda }$ is absolutely continuous such that it has a density (which is the Radon–Nikodym density or derivative) with respect to the Lebesgue measure, then for all Borel sets ${displaystyle extstyle B}$ it can be written as:

${displaystyle Lambda (B)=int _{B}lambda (x),mathrm {d} x,}$

where the density ${displaystyle extstyle lambda (x)}$ is known, among other terms, as the intensity function.

История

Poisson distribution

Despite its name, the Poisson point process was neither discovered nor studied by the French mathematician Siméon Denis Poisson; the name is cited as an example of Stigler's law.^[13][14] The name stems from its inherent relation to the Poisson distribution, derived by Poisson as a limiting case of the binomial distribution.^[88] This describes the вероятность of the sum of ${displaystyle extstyle n}$ Bernoulli trials with probability ${displaystyle extstyle p}$, often likened to the number of heads (or tails) after ${displaystyle extstyle n}$ biased flips of a coin with the probability of a head (or tail) occurring being ${displaystyle extstyle p}$. For some positive constant ${displaystyle extstyle Lambda >0}$, as ${displaystyle extstyle n}$ increases towards infinity and ${displaystyle extstyle p}$ decreases towards zero such that the product ${displaystyle extstyle np=Lambda }$ is fixed, the Poisson distribution more closely approximates that of the binomial.^[89]

Poisson derived the Poisson distribution, published in 1841, by examining the binomial distribution in the limit из ${displaystyle extstyle p}$ (to zero) and ${displaystyle extstyle n}$ (to infinity). It only appears once in all of Poisson's work,^[90] and the result was not well known during his time. Over the following years a number of people used the distribution without citing Poisson, including Philipp Ludwig von Seidel и Ernst Abbe.^[91][13] At the end of the 19 век, Ladislaus Bortkiewicz would study the distribution again in a different setting (citing Poisson), using the distribution with real data to study the number of deaths from horse kicks in the Прусская армия.^[88][92]

Открытие

There are a number of claims for early uses or discoveries of the Poisson point process.^[13][14] Например, John Michell in 1767, a decade before Poisson was born, was interested in the probability a star being within a certain region of another star under the assumption that the stars were "scattered by mere chance", and studied an example consisting of the six brightest звезды в Плеяды, without deriving the Poisson distribution. This work inspired Simon Newcomb to study the problem and to calculate the Poisson distribution as an approximation for the binomial distribution in 1860.^[14]

At the beginning of the 20th century the Poisson process (in one dimension) would arise independently in different situations.^[13][14] In Sweden 1903, Filip Lundberg опубликовал Тезис containing work, now considered fundamental and pioneering, where he proposed to model insurance claims with a homogeneous Poisson process.^[93][94]

В Дания in 1909 another discovery occurred when A.K. Erlang derived the Poisson distribution when developing a mathematical model for the number of incoming phone calls in a finite time interval. Erlang was not at the time aware of Poisson's earlier work and assumed that the number phone calls arriving in each interval of time were independent to each other. He then found the limiting case, which is effectively recasting the Poisson distribution as a limit of the binomial distribution.^[13]

In 1910 Ernest Rutherford и Hans Geiger published experimental results on counting alpha particles. Their experimental work had mathematical contributions from Harry Bateman, who derived Poisson probabilities as a solution to a family of differential equations, though the solution had been derived earlier, resulting in the independent discovery of the Poisson process.^[13] After this time there were many studies and applications of the Poisson process, but its early history is complicated, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologists, ecologists, engineers and various physical scientists.^[13]

Early applications

The years after 1909 led to a number of studies and applications of the Poisson point process, however, its early history is complex, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologists, ecologists, инженеры and others working in the physical sciences. The early results were published in different languages and in different settings, with no standard terminology and notation used.^[13] For example, in 1922 Шведский химик и Nobel Laureate Theodor Svedberg proposed a model in which a spatial Poisson point process is the underlying process in order to study how plants are distributed in plant communities.^[95] A number of mathematicians started studying the process in the early 1930s, and important contributions were made by Andrey Kolmogorov, William Feller и Aleksandr Khinchin,^[13] среди прочего.^[96] In the field of teletraffic engineering, mathematicians and statisticians studied and used Poisson and other point processes.^[97]

History of terms

The Swede Conny Palm in his 1943 диссертация studied the Poisson and other point processes in the one-dimensional setting by examining them in terms of the statistical or stochastic dependence between the points in time.^[98][97] In his work exists the first known recorded use of the term point processes в качестве Punktprozesse in German.^[98][14]

It is believed ^[13] that William Feller was the first in print to refer to it as the Poisson process in a 1940 paper. Although the Swede Ove Lundberg used the term Poisson process in his 1940 PhD dissertation,^[14] in which Feller was acknowledged as an influence,^[99] it has been claimed that Feller coined the term before 1940.^[89] It has been remarked that both Feller and Lundberg used the term as though it were well-known, implying it was already in spoken use by then.^[14] Feller worked from 1936 to 1939 alongside Harald Cramér в Стокгольмский университет, where Lundberg was a PhD student under Cramér who did not use the term Poisson process in a book by him, finished in 1936, but did in subsequent editions, which his has led to the speculation that the term Poisson process was coined sometime between 1936 and 1939 at the Stockholm University.^[14]

Терминология

The terminology of point process theory in general has been criticized for being too varied.^[14] In addition to the word точка often being omitted,^[63][2] the homogeneous Poisson (point) process is also called a stationary Poisson (point) process,^[48] а также uniform Poisson (point) process.^[43] The inhomogeneous Poisson point process, as well as being called nonhomogeneous,^[48] is also referred to as the non-stationary Poisson process.^[72][100]

Период, термин point process has been criticized, as the term process can suggest over time and space, so random point field,^[101] resulting in the terms Poisson random point field или же Poisson point field being also used.^[102] A point process is considered, and sometimes called, a random counting measure,^[103] hence the Poisson point process is also referred to as a Poisson random measure,^[104] a term used in the study of Lévy processes,^[104][105] but some choose to use the two terms for Poisson points processes defined on two different underlying spaces.^[106]

The underlying mathematical space of the Poisson point process is called a carrier space,^[107][108] или же state space, though the latter term has a different meaning in the context of stochastic processes. In the context of point processes, the term "state space" can mean the space on which the point process is defined such as the real line,^[109][110] which corresponds to the index set^[111] or parameter set^[112] in stochastic process terminology.

The measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ is called the intensity measure,^[113] mean measure,^[38] или же parameter measure,^[67] as there are no standard terms.^[38] Если ${displaystyle extstyle Lambda }$ has a derivative or density, denoted by ${displaystyle extstyle lambda (x)}$, is called the intensity function of the Poisson point process.^[20] For the homogeneous Poisson point process, the derivative of the intensity measure is simply a constant ${displaystyle extstyle lambda >0}$, which can be referred to as the ставка,usually when the underlying space is the real line, or the intensity.^[43] It is also called the mean rate или mean density^[114] или же ставка .^[34] За ${displaystyle extstyle lambda =1}$, the corresponding process is sometimes referred to as the standard Poisson (point) process.^{[44][58][115]}

The extent of the Poisson point process is sometimes called the exposure.^[116][117]

Notation

The notation of the Poisson point process depends on its setting and the field it is being applied in. For example, on the real line, the Poisson process, both homogeneous or inhomogeneous, is sometimes interpreted as a counting process, and the notation ${displaystyle extstyle {N(t),tgeq 0}}$ is used to represent the Poisson process.^[31][34]

Another reason for varying notation is due to the theory of point processes, which has a couple of mathematical interpretations. For example, a simple Poisson point process may be considered as a random set, which suggests the notation ${displaystyle extstyle xin {N}}$, implying that ${displaystyle extstyle x}$ is a random point belonging to or being an element of the Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$. Another, more general, interpretation is to consider a Poisson or any other point process as a random counting measure, so one can write the number of points of a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ being found or located in some (Borel measurable) region ${displaystyle extstyle B}$ в качестве ${displaystyle extstyle {N}(B)}$, which is a random variable. These different interpretations results in notation being used from mathematical fields such as measure theory and set theory.^[118]

For general point processes, sometimes a subscript on the point symbol, for example ${displaystyle extstyle x}$, is included so one writes (with set notation) ${displaystyle extstyle x_{i}in {N}}$ вместо ${displaystyle extstyle xin {N}}$, и ${displaystyle extstyle x}$ can be used for the dummy variable in integral expressions such as Campbell's theorem, instead of denoting random points.^[18] Sometimes an uppercase letter denotes the point process, while a lowercase denotes a point from the process, so, for example, the point ${displaystyle extstyle x}$ или же ${displaystyle extstyle x_{i}}$ belongs to or is a point of the point process ${displaystyle extstyle X}$, and be written with set notation as ${displaystyle extstyle xin X}$ или же ${displaystyle extstyle x_{i}in X}$.^[110]

Furthermore, the set theory and integral or measure theory notation can be used interchangeably. For example, for a point process ${displaystyle extstyle N}$ defined on the Euclidean state space ${displaystyle extstyle {{ extbf {R}}^{d}}}$ and a (measurable) function ${displaystyle extstyle f}$ на ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ , the expression

${displaystyle int _{{ extbf {R}}^{d}}f(x),mathrm {d} N(x)=sum limits _{x_{i}in N}f(x_{i}),}$

demonstrates two different ways to write a summation over a point process (see also Campbell's theorem (probability)). More specifically, the integral notation on the left-hand side is interpreting the point process as a random counting measure while the sum on the right-hand side suggests a random set interpretation.^[118]

Functionals and moment measures

In probability theory, operations are applied to random variables for different purposes. Sometimes these operations are regular expectations that produce the average or variance of a random variable. Others, such as characteristic functions (or Laplace transforms) of a random variable can be used to uniquely identify or characterize random variables and prove results like the central limit theorem.^[119] In the theory of point processes there exist analogous mathematical tools which usually exist in the forms of measures and functionals instead of moments and functions respectively.^[120][121]

Laplace functionals

For a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$, то Laplace functional is given by:^[18]

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})Lambda (mathrm {d} x)},}$

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)}),mathrm {d} x}.}$

One version of Campbell's theorem involves the Laplace functional of the Poisson point process.

Probability generating functionals

The probability generating function of non-negative integer-valued random variable leads to the probability generating functional being defined analogously with respect to any non-negative bounded function ${displaystyle extstyle v}$ на ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ such that ${displaystyle extstyle 0leq v(x)leq 1}$. For a point process ${displaystyle extstyle {N}}$ the probability generating functional is defined as:^[122]

${displaystyle G(v)=Eleft[prod _{xin N}v(x) ight]}$

where the product is performed for all the points in ${displaystyle extstyle {N}}$. If the intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ из ${displaystyle extstyle {N}}$ is locally finite, then the ${displaystyle extstyle G}$ is well-defined for any measurable function ${displaystyle extstyle u}$ на ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$. For a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ the generating functional is given by:

${displaystyle G(v)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],Lambda (mathrm {d} x)},}$

which in the homogeneous case reduces to

${displaystyle G(v)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],mathrm {d} x}.}$

Moment measure

For a general Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ the first moment measure is its intensity measure:^[18][19]

${displaystyle M^{1}(B)=Lambda (B),}$

which for a homogeneous Poisson point process with constant intensity ${displaystyle extstyle lambda }$ means:

${displaystyle M^{1}(B)=lambda |B|,}$

куда ${displaystyle extstyle |B|}$ is the length, area or volume (or more generally, the Мера Лебега) из ${displaystyle extstyle B}$.

The Mecke equation

The Mecke equation characterizes the Poisson point process. Позволять ${displaystyle mathbb {N} _{sigma }}$ be the space of all ${displaystyle sigma }$-finite measures on some general space ${displaystyle {mathcal {Q}}}$. A point process ${displaystyle eta }$ with intensity ${ displaystyle lambda}$ на ${displaystyle {mathcal {Q}}}$ is a Poisson point process if and only if for all measurable functions ${displaystyle f:{mathcal {Q}} imes mathbb {N} _{sigma } o mathbb {R} _{+}}$ the following holds

${displaystyle operatorname {E} left[int f(x,eta )eta (mathrm {d} x) ight]=int operatorname {E} left[f(x,eta +delta _{x}) ight]lambda (mathrm {d} x)}$

For further details see ^[123].

Factorial moment measure

For a general Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ то ${displaystyle extstyle n}$-th factorial moment measure is given by the expression:^[124]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=prod _{i=1}^{n}[Lambda (B_{i})],}$

куда ${displaystyle extstyle Lambda }$ is the intensity measure or first moment measure of ${displaystyle extstyle {N}}$, which for some Borel set ${displaystyle extstyle B}$ дан кем-то

${displaystyle Lambda (B)=M^{1}(B)=E[N(B)].}$

For a homogeneous Poisson point process the ${displaystyle extstyle n}$-th factorial moment measure is simply:^[18][19]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=lambda ^{n}prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

куда ${displaystyle extstyle |B_{i}|}$ is the length, area, or volume (or more generally, the Мера Лебега) из ${displaystyle extstyle B_{i}}$. Furthermore, the ${displaystyle extstyle n}$-th factorial moment density is:^[124]

${displaystyle mu ^{(n)}(x_{1},dots ,x_{n})=lambda ^{n}.}$

Avoidance function

В avoidance function ^[69] или же void probability ^[118] ${displaystyle extstyle v}$ of a point process ${displaystyle extstyle {N}}$ is defined in relation to some set ${displaystyle extstyle B}$, which is a subset of the underlying space ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$, as the probability of no points of ${displaystyle extstyle {N}}$ existing in ${displaystyle extstyle B}$. More precisely,^[125] for a test set ${displaystyle extstyle B}$, the avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=P({N}(B)=0).}$

For a general Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$, its avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=e^{-Lambda (B)}}$

Rényi's theorem

Simple point processes are completely characterized by their void probabilities.^[126] In other words, complete information of a simple point process is captured entirely in its void probabilities, and two simple point processes have the same void probabilities if and if only if they are the same point processes. The case for Poisson process is sometimes known as Rényi's theorem, which is named after Alfréd Rényi who discovered the result for the case of a homogeneous point process in one-dimension.^[127]

In one form,^[127] the Rényi's theorem says for a diffuse (or non-atomic) Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ на ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ and a set ${displaystyle extstyle A}$ is a finite union of rectangles (so not Borel^[d]) that if ${displaystyle extstyle {N}}$ is a countable subset of ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ such that:

${displaystyle P({N}(A)=0)=v(A)=e^{-Lambda (A)}}$

тогда ${displaystyle extstyle {N}}$ is a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$.

Point process operations

Mathematical operations can be performed on point processes in order to get new point processes and develop new mathematical models for the locations of certain objects. One example of an operation is known as thinning which entails deleting or removing the points of some point process according to a rule, creating a new process with the remaining points (the deleted points also form a point process).^[129]

Thinning

For the Poisson process, the independent ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operations results in another Poisson point process. More specifically, a ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operation applied to a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ gives a point process of removed points that is also Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}_{p}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda _{p}}$, which for a bounded Borel set ${displaystyle extstyle B}$ is given by:

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}p(x),Lambda (mathrm {d} x)}$

This thinning result of the Poisson point process is sometimes known as Prekopa's theorem.^[130] Furthermore, after randomly thinning a Poisson point process, the kept or remaining points also form a Poisson point process, which has the intensity measure

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}(1-p(x)),Lambda (mathrm {d} x).}$

The two separate Poisson point processes formed respectively from the removed and kept points are stochastically independent of each other.^[129] In other words, if a region is known to contain ${displaystyle extstyle n}$ kept points (from the original Poisson point process), then this will have no influence on the random number of removed points in the same region. This ability to randomly create two independent Poisson point processes from one is sometimes known as расщепление ^[131][132] the Poisson point process.

Superposition

If there is a countable collection of point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$, then their superposition, or, in set theory language, their union, which is^[133]

${displaystyle {N}=igcup _{i=1}^{infty }{N}_{i},}$

also forms a point process. In other words, any points located in any of the point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ will also be located in the superposition of these point processes ${displaystyle extstyle {N}}$.

Superposition theorem

В superposition theorem of the Poisson point process says that the superposition of independent Poisson point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ with mean measures ${displaystyle extstyle Lambda _{1},Lambda _{2},dots }$ will also be a Poisson point process with mean measure^[134][89]

${displaystyle Lambda =sum _{i=1}^{infty }Lambda _{i}.}$

In other words, the union of two (or countably more) Poisson processes is another Poisson process. If a point ${ extstyle x}$ is sampled from a countable ${ extstyle n}$ union of Poisson processes, then the probability that the point ${displaystyle extstyle x}$ принадлежит к ${ extstyle j}$th Poisson process ${ extstyle N_{j}}$ is given by:

${displaystyle P(xin N_{j})={frac {Lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}Lambda _{i}}}.}$

For two homogeneous Poisson processes with intensities ${ extstyle lambda _{1},lambda _{2}dots }$, the two previous expressions reduce to

${displaystyle lambda =sum _{i=1}^{infty }lambda _{i},}$

и

${displaystyle P(xin {N}_{j})={frac {lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}lambda _{i}}}.}$

Clustering

The operation clustering is performed when each point ${displaystyle extstyle x}$ of some point process ${displaystyle extstyle {N}}$ is replaced by another (possibly different) point process. If the original process ${displaystyle extstyle {N}}$ is a Poisson point process, then the resulting process ${displaystyle extstyle {N}_{c}}$ is called a Poisson cluster point process.

Random displacement

A mathematical model may require randomly moving points of a point process to other locations on the underlying mathematical space, which gives rise to a point process operation known as displacement ^[135] or translation.^[136] The Poisson point process has been used to model, for example, the movement of plants between generations, owing to the displacement theorem,^[135] which loosely says that the random independent displacement of points of a Poisson point process (on the same underlying space) forms another Poisson point process.

Displacement theorem

One version of the displacement theorem^[135] involves a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ на ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ with intensity function ${displaystyle extstyle lambda (x)}$. It is then assumed the points of ${displaystyle extstyle {N}}$ are randomly displaced somewhere else in ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ so that each point's displacement is independent and that the displacement of a point formerly at ${displaystyle extstyle x}$ is a random vector with a probability density ${displaystyle extstyle ho (x,cdot )}$.^[e] Then the new point process ${displaystyle extstyle {N}_{D}}$ is also a Poisson point process with intensity function

${displaystyle lambda _{D}(y)=int _{{ extbf {R}}^{d}}lambda (x) ho (x,y),mathrm {d} x.}$

If the Poisson process is homogeneous with ${displaystyle extstyle lambda (x)=lambda >0}$ and if ${displaystyle ho (x,y)}$ is a function of ${displaystyle y-x}$, тогда

${displaystyle lambda _{D}(y)=lambda .}$

In other words, after each random and independent displacement of points, the original Poisson point process still exists.

The displacement theorem can be extended such that the Poisson points are randomly displaced from one Euclidean space ${displaystyle extstyle { extbf {R}}^{d}}$ to another Euclidean space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d '}}$, куда ${ displaystyle textstyle d ' geq 1}$ не обязательно равно ${ displaystyle textstyle d}$.^[18]

Картография

Еще одно свойство, которое считается полезным, - это способность отображать точечный процесс Пуассона из одного базового пространства в другое пространство.^[137]

Теорема отображения

Если отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, то результирующая отображенная (или преобразованная) совокупность точек также образует точечный процесс Пуассона, и этот результат иногда называют теорема об отображении.^[137][138] Теорема касается некоторого точечного процесса Пуассона со средней мерой ${ displaystyle textstyle Lambda}$ на некотором нижележащем пространстве. Если положения точек отображаются (то есть точечный процесс преобразуется) в соответствии с некоторой функцией в другое базовое пространство, то результирующий точечный процесс также является точечным процессом Пуассона, но с другой средней мерой. ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Более конкретно, можно рассмотреть (измеримую по Борелю) функцию ${ displaystyle textstyle f}$ который отображает точечный процесс ${ displaystyle textstyle {N}}$ с мерой интенсивности ${ displaystyle textstyle Lambda}$ из одного места ${ displaystyle textstyle S}$, в другое место ${ displaystyle textstyle T}$ таким образом, чтобы процесс новой точки ${ displaystyle textstyle {N} '}$ имеет меру интенсивности:

${ Displaystyle Lambda (B) '= Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

без атомов, где ${ displaystyle textstyle B}$ является борелевским множеством и ${ displaystyle textstyle f ^ {- 1}}$ обозначает обратную функцию ${ displaystyle textstyle f}$. Если ${ displaystyle textstyle {N}}$ точечный процесс Пуассона, то новый процесс ${ displaystyle textstyle {N} '}$ также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Аппроксимации с точечными процессами Пуассона.

Управляемость пуассоновского процесса означает, что иногда удобно аппроксимировать непуассоновский точечный процесс пуассоновским. Общая цель состоит в том, чтобы аппроксимировать как количество точек некоторого точечного процесса, так и положение каждой точки с помощью точечного процесса Пуассона.^[139] Существует ряд методов, которые можно использовать для обоснования, неформально или строго, аппроксимации возникновения случайных событий или явлений подходящими точечными процессами Пуассона. Более строгие методы включают получение верхних оценок вероятностных метрик между пуассоновскими и непуассоновскими точечными процессами, в то время как другие методы могут быть оправданы менее формальными эвристиками.^[140]

Эвристика слипания

Один из методов аппроксимации случайных событий или явлений пуассоновскими процессами называется методом слипающаяся эвристика.^[141] Общая эвристика или принцип включает использование точечного процесса Пуассона (или распределения Пуассона) для аппроксимации событий, которые считаются редкими или маловероятными, какого-либо случайного процесса. В некоторых случаях эти редкие события почти независимы, поэтому можно использовать точечный процесс Пуассона. Когда события не являются независимыми, но имеют тенденцию происходить в кластерах или комки, то, если эти сгустки определены подходящим образом, так что они примерно независимы друг от друга, то количество возникающих сгустков будет близко к пуассоновской случайной величине ^[140] и расположение сгустков будет близко к процессу Пуассона.^[141]

Метод Штейна

Метод Штейна математический метод, первоначально разработанный для приближения случайных величин, таких как Гауссовский и переменные Пуассона, которые также применялись к точечным процессам. Метод Стейна можно использовать для получения оценок сверху метрики вероятности, которые дают возможность количественно оценить, как разные два случайных математических объекта изменяются стохастически.^[139][142] Верхние границы для вероятностных метрик, таких как полное изменение и Расстояние Вассерштейна были выведены.^[139]

Исследователи применили метод Штейна к точечным процессам Пуассона несколькими способами:^[139] например, использование Исчисление ладони.^[108] Методы, основанные на методе Штейна, были разработаны, чтобы учесть в верхних границах влияние определенных точечные технологические операции такие как прореживание и наложение.^[143][144] Метод Штейна также использовался для получения верхних оценок метрик Пуассона и других процессов, таких как Процесс точки Кокса, представляющий собой пуассоновский процесс со случайной мерой интенсивности.^[139]

Сходимость к точечному процессу Пуассона.

В общем, когда операция применяется к общему точечному процессу, результирующий процесс обычно не является точечным процессом Пуассона. Например, если точечный процесс, отличный от пуассоновского, имеет свои точки случайным и независимо смещенным, то этот процесс не обязательно будет точечным процессом Пуассона. Однако при определенных математических условиях как для исходного точечного процесса, так и для случайного смещения с помощью предельных теорем было показано, что если точки точечного процесса многократно смещаются случайным и независимым образом, то конечное распределение точки процесс сходится (слабо) к процессу точки Пуассона.^[145]

Аналогичные результаты сходимости получены для операций прореживания и суперпозиции.^[145] которые показывают, что такие повторяющиеся операции над точечными процессами могут, при определенных условиях, привести к тому, что процесс сходится к точечным процессам Пуассона, при условии подходящего изменения масштаба меры интенсивности (в противном случае значения меры интенсивности результирующих точечных процессов будут приближаться к нулю или бесконечность). Такая конвергенция напрямую связана с результатами, известными как метод Палма – Хинчина.^[f] уравнения, которое берет свое начало в работе Конни Палм и Александр Хинчин,^[147] и помогает объяснить, почему процесс Пуассона часто можно использовать в качестве математической модели различных случайных явлений.^[145]

Обобщения точечных процессов Пуассона.

Точечный процесс Пуассона можно обобщить, например, путем изменения меры его интенсивности или определения в более общих математических пространствах. Эти обобщения можно изучать математически, а также использовать для математического моделирования или представления физических явлений.

Случайные меры пуассоновского типа

В Случайные меры пуассоновского типа (PT) - это семейство из трех случайных считающих мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т.е. замкнутых относительно Point_process_operation # Прореживание. Эти случайные меры являются примерами смешанный биномиальный процесс и разделяют свойство самоподобия распределения Случайная мера Пуассона. Они - единственные члены семейства распределений канонических неотрицательных степенных рядов, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение, и биномиальное распределение. Случайная мера Пуассона не зависит от непересекающихся подпространств, тогда как другие PT случайные меры (отрицательные биномиальные и биномиальные) имеют положительные и отрицательные ковариации. Обсуждаются случайные меры ПК.^[148] и включить Случайная мера Пуассона, отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера.

Точечные процессы Пуассона на более общих пространствах

Для математических моделей точечный процесс Пуассона часто определяется в евклидовом пространстве,^[1][38] но был обобщен на более абстрактные пространства и играет фундаментальную роль в изучении случайных мер,^[149][150] что требует понимания таких математических областей, как теория вероятностей, теория меры и топология.^[151]

В общем, концепция расстояния представляет практический интерес для приложений, в то время как топологическая структура необходима для распределений Пальма, что означает, что точечные процессы обычно определяются в математических пространствах с метриками.^[152] Кроме того, реализацию точечного процесса можно рассматривать как счетную меру, поэтому точечные процессы представляют собой типы случайных мер, известных как случайные счетные меры.^[115] В этом контексте пуассоновские и другие точечные процессы изучались на локально компактном втором счетном хаусдорфовом пространстве.^[153]

Процесс точки Кокса

А Процесс точки Кокса, Процесс Кокса или же дважды стохастический пуассоновский процесс является обобщением точечного процесса Пуассона, позволяя измерять его интенсивность ${ displaystyle textstyle Lambda}$ быть также случайным и независимым от лежащего в основе процесса Пуассона. Процесс назван в честь Дэвид Кокс кто представил его в 1955 году, хотя другие пуассоновские процессы со случайной интенсивностью были независимо введены ранее Люсьеном Ле Камом и Морисом Кенуйем.^[14] Мера интенсивности может быть реализацией случайной величины или случайного поля. Например, если логарифм меры интенсивности есть Гауссовское случайное поле, то результирующий процесс известен как log гауссовский процесс Кокса.^[154] В более общем смысле, меры интенсивности - это реализация неотрицательной локально конечной случайной меры. Точечные процессы Кокса проявляют кластеризация точек, которые, как можно математически показать, больше, чем у точечных процессов Пуассона. Универсальность и управляемость процессов Кокса привели к их использованию в качестве моделей в таких областях, как пространственная статистика.^[155] и беспроводные сети.^[19]

Отмеченный точечный процесс Пуассона

Иллюстрация отмеченного точечного процесса, где немаркированный точечный процесс определен на положительной реальной линии, которая часто представляет время. Случайные метки принимают значения в пространстве состояний. ${ displaystyle S}$ известный как отметить место. Любой такой отмеченный точечный процесс можно интерпретировать как немаркированный точечный процесс на пространстве. ${ Displaystyle [0, infty] раз S}$. Теорема о маркировке гласит, что если исходный немаркированный точечный процесс является точечным процессом Пуассона, а метки стохастически независимы, то отмеченный точечный процесс также является точечным процессом Пуассона на ${ Displaystyle [0, infty] раз S}$. Если точечный процесс Пуассона однороден, то лакуны ${ Displaystyle тау _ {я}}$ на диаграмме взяты из экспоненциального распределения.

Для данного точечного процесса каждая случайная точка точечного процесса может иметь случайный математический объект, известный как отметка, присвоенный ему случайным образом. Эти метки могут быть самыми разными: целые числа, действительные числа, линии, геометрические объекты или другие точечные процессы.^[156][157] Пара, состоящая из точки точечного процесса и соответствующей ей метки, называется отмеченной точкой, и все отмеченные точки образуют отмеченный точечный процесс.^[158] Часто предполагается, что случайные метки независимы друг от друга и одинаково распределены, но метка точки все еще может зависеть от местоположения соответствующей точки в нижележащем (состоянии) пространстве.^[159] Если базовый точечный процесс является точечным процессом Пуассона, то результирующий точечный процесс является отмеченный точечный процесс Пуассона.^[160]

Теорема маркировки

Если общий точечный процесс определен на некотором математическое пространство и случайные отметки определяются в другом математическом пространстве, затем отмеченный точечный процесс определяется на Декартово произведение этих двух пространств. Для отмеченного точечного процесса Пуассона с независимыми и одинаково распределенными отметками теорема о маркировке ^[159][161] утверждает, что этот отмеченный точечный процесс также является (немаркированным) точечным процессом Пуассона, определенным на вышеупомянутом декартовом произведении двух математических пространств, что неверно для общих точечных процессов.

Составной точечный процесс Пуассона

В сложный точечный процесс Пуассона или же составной процесс Пуассона формируется путем добавления случайных значений или весов к каждой точке точечного процесса Пуассона, определенного в некотором нижележащем пространстве, поэтому процесс строится из отмеченного точечного процесса Пуассона, где метки образуют набор независимые и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины. Другими словами, для каждой точки исходного процесса Пуассона существует независимая и одинаково распределенная неотрицательная случайная величина, а затем составной процесс Пуассона формируется из суммы всех случайных величин, соответствующих точкам процесса Пуассона, расположенным в некоторой области лежащего в основе математического пространства.^[162]

Если есть отмеченный точечный процесс Пуассона, образованный из точечного процесса Пуассона ${ displaystyle textstyle N}$ (определяется, например, ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$) и набор независимых и одинаково распределенных неотрицательных оценок ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ так что для каждой точки ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$ процесса Пуассона ${ displaystyle textstyle N}$ есть неотрицательная случайная величина ${ displaystyle textstyle M_ {i}}$, тогда полученный составной процесс Пуассона имеет вид:^[163]

${ Displaystyle С (В) = сумма _ {я = 1} ^ {N (B)} M_ {я},}$

куда ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ - измеримое по Борелю множество.

Если общие случайные величины ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ принимать значения, например, ${ displaystyle textstyle d}$-мерное евклидово пространство ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, полученный составной процесс Пуассона является примером Леви процесс при условии, что он образован из однородного точечного процесса ${ displaystyle textstyle N}$ определяется на неотрицательных числах ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$.^[164]

Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности

Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности (FP-ESI) является расширением неоднородного пуассоновского процесса. Функция интенсивности FP-ESI является экспоненциальной функцией сглаживания функций интенсивности в последние моменты времени возникновения событий и превосходит другие девять стохастических процессов в 8 наборах данных реальных отказов, когда модели используются для соответствия наборам данных,^[165] где производительность модели измеряется в единицах AIC (Информационный критерий Акаике) и BIC (Байесовский информационный критерий).

Смотрите также

• Булева модель (теория вероятностей)
• Теория перколяции континуума
• Составной процесс Пуассона
• Процесс Кокса
• Точечный процесс
• Стохастическая геометрия
• Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
• Марковские процессы прибытия

Примечания

Рекомендации

Специфический