WikiDer > Методы частиц среднего поля - Википедия

Методы частиц среднего поля представляют собой широкий класс взаимодействующий тип Монте-Карло алгоритмы моделирования из последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции.^[1][2][3][4] Эти потоки вероятностных мер всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса, вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний.^[1][2] Естественным способом моделирования этих сложных нелинейных марковских процессов является выборка большого количества копий процесса, замена в уравнении эволюции неизвестных распределений случайных состояний выборочными эмпирические меры. В отличие от традиционного Монте-Карло и Цепь Маркова Монте-Карло методы, на которых основаны эти методы частиц среднего поля последовательные взаимодействующие образцы. Среднее поле терминологии отражает тот факт, что каждый из образцы (также известные как частицы, люди, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими измерениями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает. Другими словами, начиная с хаотической конфигурации, основанной на независимых копиях начального состояния нелинейной модели цепи Маркова, хаос распространяется на любом временном горизонте, поскольку размер системы стремится к бесконечности; то есть конечные блоки частиц сводятся к независимым копиям нелинейного марковского процесса. Этот результат называется распространением свойства хаоса.^[5][6][7] Термин «распространение хаоса» возник в результате работ Марк Кац в 1976 г. о модели встречного среднего кинетического газа.^[8]

История

Теория моделей взаимодействующих частиц со средним полем, безусловно, началась к середине 1960-х годов с работ Генри П. Маккин мл. о марковских интерпретациях одного класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкости.^[5][9] Математические основы этих классов моделей разрабатывались с середины 1980-х до середины 1990-х годов несколькими математиками, включая Вернера Брауна, Клауса Хеппа,^[10] Карл Эльшлегер,^[11][12][13] Жерар Бен Арус и Марк Брюно,^[14] Дональд Доусон, Жан Вайланкур^[15] и Юрген Гертнер,^[16][17] Кристиан Леонар,^[18] Сильви Мелеард, Сильви Ролли,^[6] Ален-Соль Снитман^[7][19] и Хироши Танака^[20] для моделей диффузионного типа; Ф. Альберто Грюнбаум,^[21] Токудзо Сига, Хироши Танака,^[22] Сильви Мелеард и Карл Грэм^[23][24][25] для общих классов взаимодействующих скачко-диффузионных процессов.

Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодор Э. Харрис и Herman Kahn, опубликованные в 1951 г., использующие генетические методы среднего поля, но схожие с эвристикой, для оценки энергий прохождения частиц.^[26] Методы частиц генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как: метаэвристический) в эволюционных вычислениях. Истоки этих методов вычисления среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 гг. Алан Тьюринг на обучающих машинах по генетическому типу мутации^[27]и статьи Нильс Алл Барричелли на Институт перспективных исследований в Принстон, Нью-Джерси.^[28][29] Австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 г. серию работ по моделированию генетического типа искусственный отбор организмов.^[30]

Квантовый Монте-Карло, и, более конкретно Диффузионные методы Монте-Карло может также интерпретироваться как приближение среднеполевых частиц интегралов по траекториям Фейнмана-Каца.^{[3][4][31][32][33][34][35]} Истоки методов квантового Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию цепных нейтронных реакций частицами среднего поля.^[36] но первый эвристический алгоритм частиц генетического типа (также известный как методы повторной выборки или реконфигурации Монте-Карло) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в сокращенных матричных моделях) был создан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году.^[35]В молекулярной химии использование генетических эвристико-подобных методов частиц (также известных как стратегии сокращения и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда был основан основополагающий труд Маршалла. Н. Розенблют и Арианна. В. Розенблют.^[37]

Первыми новаторскими статьями о применении этих эвристических методов частиц в задачах нелинейной фильтрации были независимые исследования Нила Гордона, Дэвида Сэлмона и Адриана Смита (бутстрап-фильтр),^[38] Генширо Китагава (фильтр Монте-Карло),^[39] и один Химилькона Карвалью, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салю^[40] опубликовано в 1990-е гг. Термин взаимодействующие «фильтры частиц» впервые был введен в употребление в 1996 году Дель Мораль.^[41] Фильтры частиц также были разработаны для обработки сигналов в начале 1989-1992 годов П. Дель Мораль, Дж. К. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компанию DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR / SONAR и GPS.^{[42][43][44][45][46][47]}

Основание и первый строгий анализ сходимости моделей генетического типа и методов частиц Фейнмана-Каца среднего поля принадлежит Пьеру Дель Моралю.^[48][49] в 1996 году. Методы частиц ветвистого типа с различными размерами популяции также были разработаны в конце 1990-х Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонс,^[50][51][52] и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом.^[53] Первые результаты равномерной сходимости по параметру времени для моделей частиц среднего поля были получены в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне.^[54][55] для взаимодействующих процессов скачкообразного типа и Флоран Мальье для процессов нелинейного диффузионного типа.^[56]

Новые классы методов моделирования частиц среднего поля для задач интеграции путей Фейнмана-Каца включают модели на основе генеалогического дерева,^[2][3][57] модели обратных частиц,^[2][58] адаптивные модели частиц среднего поля,^[59] модели частиц островного типа,^[60][61] и методом Монте-Карло цепей Маркова частиц^[62][63]

Приложения

В физика, и особенно в статистическая механикаэти нелинейные эволюционные уравнения часто используются для описания статистического поведения микроскопических взаимодействующих частиц в жидкости или в некотором конденсированном веществе. В этом контексте случайная эволюция виртуальной жидкости или частицы газа представлена ​​как Диффузионные процессы Маккина-Власова, реакционно-диффузионные системы, или же Процессы столкновения типа Больцмана.^{[11][12][13][25][64]} Как видно из названия, модель частиц среднего поля представляет коллективное поведение микроскопических частиц, слабо взаимодействующих с их мерами заполнения. Макроскопическое поведение этих систем многих частиц заключено в предельную модель, полученную, когда размер популяции стремится к бесконечности. Уравнения Больцмана представляют макроскопическую эволюцию сталкивающихся частиц в разреженных газах, в то время как диффузия Маккина-Власова представляет макроскопическое поведение жидких частиц и гранулированных газов.

В вычислительная физика и более конкретно в квантовая механикаэнергия основного состояния квантовых систем связана с вершиной спектра операторов Шредингера. В Уравнение Шредингера является квантовой версией второго закона движения Ньютона классической механики (масса, умноженная на ускорение, является суммой сил). Это уравнение представляет эволюцию волновой функции (также известного как квантовое состояние) некоторой физической системы, включая молекулярные, атомные или субатомные системы, а также макроскопические системы, такие как Вселенная.^[65] Решение уравнения Шредингера мнимого времени (также известного как уравнение теплопроводности) дается распределением Фейнмана-Каца, связанным со свободным эволюционным марковским процессом (часто представленным броуновскими движениями) в наборе электронных или макромолекулярных конфигураций и некоторой функцией потенциальной энергии. Длительное поведение этих нелинейных полугрупп связано с верхними собственными значениями и энергиями основного состояния операторов Шредингера.^{[3][32][33][34][35][66]} Интерпретация среднего поля генетического типа этих моделей Фейнмана-Каца называется методами повторной выборки Монте-Карло или диффузионного Монте-Карло. Эти эволюционные алгоритмы типа ветвления основаны на переходах мутации и отбора. Во время мутационного перехода пешеходы эволюционируют случайным образом и независимо в ландшафте потенциальной энергии от конфигураций частиц. Процесс выбора среднего поля (также известный как квантовая телепортация, реконфигурация населения, переход с повторной дискретизацией) связан с функцией приспособленности, которая отражает поглощение частиц в энергетической яме. Конфигурации с низкой относительной энергией с большей вероятностью будут дублироваться. В молекулярной химии и статистической физике для отбора проб также используются методы частиц среднего поля. Меры Больцмана-Гиббса связанных с некоторым графиком охлаждения, и для вычисления их нормирующих констант (также известных как свободные энергии или статистические суммы).^{[2][67][68][69]}

В вычислительная биология, а точнее в популяционная генетика, пространственный ветвящиеся процессы с конкурентным отбором и механизмами миграции также может быть представлен среднеполевым генетическим типом модели динамики населения.^[4][70]Первые моменты мер заполнения пространственного ветвящегося процесса задаются потоками распределения Фейнмана-Каца.^[71][72] Аппроксимация этих потоков среднеполевым генетическим типом предлагает интерпретацию этих процессов ветвления с фиксированным размером популяции.^[2][3][73] Вероятности экстинкции можно интерпретировать как вероятности поглощения некоторого марковского процесса, развивающегося в некоторой поглощающей среде. Эти модели поглощения представлены моделями Фейнмана-Каца.^{[74][75][76][77]} Долговременное поведение этих процессов, обусловленное невыханием, может быть эквивалентно выражено следующим образом: квазиинвариантные меры, Яглом пределы,^[78] или инвариантные меры нелинейных нормированных потоков Фейнмана-Каца.^{[2][3][54][55][66][79]}

В компьютерные науки, и особенно в искусственный интеллект эти средний тип поля генетические алгоритмы используются как эвристики случайного поиска, которые имитируют процесс эволюции, чтобы генерировать полезные решения сложных проблем оптимизации.^[80][81][82] Эти алгоритмы стохастического поиска относятся к классу Эволюционные модели. Идея состоит в том, чтобы создать популяцию возможных решений-кандидатов, используя механизмы мутации и отбора. Взаимодействие среднего поля между индивидуумами заключено в механизмах отбора и перехода.

В средние полевые игры и многоагентные взаимодействующие системы Согласно теории, процессы частиц среднего поля используются для представления коллективного поведения сложных систем с взаимодействующими индивидуумами.^{[83][84][85][86][87][88][89][90]} В этом контексте взаимодействие среднего поля инкапсулируется в процессе принятия решения взаимодействующими агентами. Предельную модель, когда количество агентов стремится к бесконечности, иногда называют континуальной моделью агентов.^[91]

В теория информации, а точнее в статистических машинное обучение и обработка сигналов, методы частиц среднего поля используются для последовательной выборки из условных распределений некоторого случайного процесса относительно последовательности наблюдений или каскада редкие события.^{[2][3][73][92]} В дискретное время задачи нелинейной фильтрации, условные распределения случайных состояний сигнала с учетом частичных и зашумленных наблюдений удовлетворяют нелинейному уравнению эволюции прогнозирования обновления. Шаг обновления задается Правило Байеса, а шаг прогноза - это Уравнение переноса Чепмена-Колмогорова. Интерпретация частиц среднего поля этих уравнений нелинейной фильтрации представляет собой алгоритм частиц с отбором и мутацией генетического типа.^[48]На этапе мутации частицы эволюционируют независимо друг от друга в соответствии с марковскими переходами сигнала. На этапе отбора частицы с малыми значениями относительного правдоподобия уничтожаются, а частицы с высокими относительными значениями умножаются.^[93][94] Эти методы частиц среднего поля также используются для решения задач слежения за несколькими объектами и, в частности, для оценки мер ассоциации.^[2][73][95]

Версия этих моделей частиц с непрерывным временем представляет собой интерпретацию частиц типа Морана в среднем поле робастных уравнений эволюции оптимального фильтра или стохастического уравнения в частных производных Кушнера-Стратонотича.^[4][31][94] Эти генетические алгоритмы частиц среднего поля также называют Фильтры твердых частиц и Последовательные методы Монте-Карло широко и регулярно используются в операционных исследованиях и статистических выводах.^[96][97][98] Термин «фильтры твердых частиц» впервые был введен в употребление в 1996 г. Дель Мораль,^[41] и термин "последовательный Монте-Карло" Лю и Чена в 1998 году. Моделирование подмножества и расщепление Монте-Карло^[99] методы являются частными примерами схем генетических частиц и моделей частиц Фейнмана-Каца, оснащенных Цепь Маркова Монте-Карло мутационные переходы^{[67][100][101]}

Иллюстрации метода моделирования среднего поля

Счетные модели пространства состояний

Чтобы мотивировать алгоритм моделирования среднего поля, мы начнем с S а конечный или же счетное состояние пространство и пусть п(S) обозначим множество всех вероятностных мер на S. Рассмотрим последовательность распределения вероятностей ${ displaystyle ( eta _ {0}, eta _ {1}, cdots)}$ на S удовлетворяющее уравнению эволюции:

${ displaystyle eta _ {n + 1} = Phi ( eta _ {n})}$

(1)

для некоторых, возможно, нелинейных, отображение ${ Displaystyle Phi: P (S) к P (S).}$ Эти распределения задаются векторами

${ displaystyle eta _ {n} = ( eta _ {n} (x)) _ {x in S},}$

которые удовлетворяют:

${ displaystyle 0 leqslant eta _ {n} (x) leqslant 1, qquad sum nolimits _ {x in S} eta _ {n} (x) = 1.}$

Следовательно, ${ displaystyle Phi}$ отображение из ${ Displaystyle (s-1)}$-блок симплекс в себя, где s стоит за мощность из набора S. Когда s слишком велико, решая уравнение (1) является несговорчивый или очень затратно в вычислительном отношении. Одним из естественных способов аппроксимации этих эволюционных уравнений является последовательное сокращение пространства состояний с использованием модели частиц среднего поля. Одна из простейших схем моделирования среднего поля определяется цепью Маркова

${ Displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }верно)}$

на пространстве продукта ${ Displaystyle S ^ {N}}$, начиная с N независимые случайные величины с распределением вероятностей ${ displaystyle eta _ {0}}$ и элементарные переходы

${ Displaystyle mathbf {P} left ( left. xi _ {n + 1} ^ {(N, 1)} = y ^ {1}, cdots, xi _ {n + 1} ^ { (N, N)} = y ^ {N} right | xi _ {n} ^ {(N)} right) = prod _ {i = 1} ^ {N} Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right) left (y ^ {i} right),}$

с эмпирическая мера

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} 1 _ { xi _ {n} ^ {(N, j )}}}$

куда ${ displaystyle 1_ {x}}$ это индикаторная функция государства Икс.

Другими словами, учитывая ${ Displaystyle хи _ {п} ^ {(N)}}$ образцы ${ Displaystyle хи _ {п + 1} ^ {(N)}}$ независимые случайные величины с распределением вероятностей ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$. Обоснование этого метода моделирования среднего поля заключается в следующем: мы ожидаем, что когда ${ displaystyle eta _ {n} ^ {N}}$ является хорошим приближением к ${ displaystyle eta _ {n}}$, тогда ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$ является приближением ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} right) = eta _ {n + 1}}$. Таким образом, поскольку ${ displaystyle eta _ {n + 1} ^ {N}}$ это эмпирическая мера N условно независимые случайные величины с общим распределением вероятностей ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$, мы ожидаем ${ displaystyle eta _ {n + 1} ^ {N}}$ быть хорошим приближением к ${ displaystyle eta _ {n + 1}}$.

Другая стратегия - найти коллекцию

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} = left (K _ { eta _ {n}} (x, y) right) _ {x, y in S}}$

из стохастические матрицы проиндексировано ${ displaystyle eta _ {n} in P (S)}$ такой, что

${ displaystyle sum _ {x in S} eta _ {n} (x) K _ { eta _ {n}} (x, y) = Phi ( eta _ {n}) (y) = eta _ {n + 1} (y)}$

(2)

Эта формула позволяет интерпретировать последовательность ${ displaystyle ( eta _ {0}, eta _ {1}, cdots)}$ как распределения вероятностей случайных состояний ${ displaystyle left ({ overline {X}} _ {0}, { overline {X}} _ {1}, cdots right)}$ модели нелинейной цепи Маркова с элементарными переходами

${ displaystyle mathbf {P} left ( left. { overline {X}} _ {n + 1} = y right | { overline {X}} _ {n} = x right) = K_ { eta _ {n}} (x, y), qquad { text {Law}} ({ overline {X}} _ {n}) = eta _ {n}.}$

Сборник марковских переходов ${ displaystyle K _ { eta _ {n}}}$ удовлетворяющее уравнению (1) называется интерпретацией Маккина последовательности мер ${ displaystyle eta _ {n}}$Интерпретация среднеполевой частицы (2) теперь определяется цепью Маркова

${ Displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }верно)}$

на пространстве продукта ${ Displaystyle S ^ {N}}$, начиная с N независимые случайные копии ${ displaystyle X_ {0}}$ и элементарные переходы

${ Displaystyle mathbf {P} left ( left. xi _ {n + 1} ^ {(N, 1)} = y ^ {1}, cdots, xi _ {n + 1} ^ { (N, N)} = y ^ {N} right | xi _ {n} ^ {(N)} right) = prod _ {i = 1} ^ {N} K_ {n + 1, eta _ {n} ^ {N}} left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y ^ {i} right),}$

с эмпирической мерой

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} 1 _ { xi _ {n} ^ {(N, j )}}}$

При некоторых условиях слабой регулярности^[2] на карте ${ displaystyle Phi}$ для любой функции ${ displaystyle f: S to mathbf {R}}$, имеем почти наверное сходимость

${ displaystyle { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} f left ( xi _ {n} ^ {(N, j)} right) to _ { N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {n}) right) = sum _ {x in S} eta _ {n} (x) f (x) }$

Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на неоднородные по времени модели на общих измеримый государственные пространства.^[2]

Модели Фейнмана-Каца

Чтобы проиллюстрировать абстрактные модели, представленные выше, рассмотрим стохастическую матрицу ${ Displaystyle М = (М (х, у)) _ {х, у в S}}$ и некоторая функция ${ Displaystyle G: S к (0,1)}$. Мы связываем с этими двумя объектами отображение

${ Displaystyle { begin {case} Phi: P (S) to P (S) ( eta _ {n} (x)) _ {x in S} mapsto left ( Phi ( eta _ {n}) (y) right) _ {y in S} end {case}} qquad Phi ( eta _ {n}) (y) = sum _ {x in S } Psi _ {G} ( eta _ {n}) (x) M (x, y)}$

и меры Больцмана-Гиббса ${ Displaystyle Psi _ {G} ( eta _ {n}) (х)}$ определяется

${ Displaystyle Psi _ {G} ( eta _ {n}) (x) = { frac { eta _ {n} (x) G (x)} { sum _ {z in S} eta _ {n} (z) G (z)}}.}$

Обозначим через ${ displaystyle K _ { eta _ {n}} = left (K _ { eta _ {n}} (x, y) right) _ {x, y in S}}$ набор стохастических матриц, индексированных ${ displaystyle eta _ {n} in P (S)}$ данный

${ Displaystyle К _ { eta _ {n}} (x, y) = epsilon G (x) M (x, y) + (1- epsilon G (x)) Phi ( eta _ {n} ) (y)}$

для какого-то параметра ${ displaystyle epsilon in [0,1]}$. Нетрудно проверить, что уравнение (2) доволен. Кроме того, мы также можем показать (см., Например,^[3]), что решение (1) задается формулой Фейнмана-Каца

${ displaystyle eta _ {n} (x) = { frac {E left (1_ {x} (X_ {n}) prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p }) right)} {E left ( prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p}) right)}},}$

с цепью Маркова ${ displaystyle X_ {n}}$ с начальным распределением ${ displaystyle eta _ {0}}$ и марковский переход M.

Для любой функции ${ displaystyle f: S to mathbf {R}}$ у нас есть

${ displaystyle eta _ {n} (f): = sum _ {x in S} eta _ {n} (x) f (x) = { frac {E left (f (X_ {n }) prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p}) right)} {E left ( prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ { p}) right)}}}$

Если ${ Displaystyle G (х) = 1}$ является единичной функцией и ${ displaystyle epsilon = 1}$, то имеем

${ Displaystyle К _ { eta _ {n}} (х, y) = M (x, y) = mathbf {P} left ( left.X_ {n + 1} = y right | X_ {n } = x right), qquad eta _ {n} (x) = E left (1_ {x} (X_ {n}) right) = mathbf {P} (X_ {n} = x) .}$

И уравнение (2) сводится к Уравнение Чепмена-Колмогорова

${ displaystyle eta _ {n + 1} (y) = sum _ {x in S} eta _ {n} (x) M (x, y) qquad Leftrightarrow qquad mathbf {P} left (X_ {n + 1} = y right) = sum _ {x in S} mathbf {P} (X_ {n + 1} = y | X_ {n} = x) mathbf {P } left (X_ {n} = x right)}$

Интерпретация частиц среднего поля этой модели Фейнмана-Каца определяется путем последовательной выборки N условно независимые случайные величины ${ Displaystyle хи _ {п + 1} ^ {(N, я)}}$ с распределением вероятностей

${ displaystyle K_ {n + 1, eta _ {n} ^ {N}} left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y right) = epsilon G left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) M left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y right) + left (1- epsilon G left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) right) sum _ {j = 1} ^ {N} { frac {G left ( xi _ {n} ^ {( N, j)} right)} { sum _ {k = 1} ^ {N} G left ( xi _ {n} ^ {(N, k)} right)}} M left ( xi _ {n} ^ {(N, j)}, y right)}$

Другими словами, с вероятностью ${ Displaystyle эпсилон G влево ( хи _ {п} ^ {(N, я)} вправо)}$ частица ${ Displaystyle хи _ {п} ^ {(N, я)}}$ переходит в новое состояние ${ Displaystyle хи _ {п + 1} ^ {(N, я)} = у}$ случайно выбранный с распределением вероятностей ${ Displaystyle М влево ( хи _ {п} ^ {(N, я)}, у вправо)}$; иначе, ${ Displaystyle хи _ {п} ^ {(N, я)}}$ прыгает в новое место ${ Displaystyle хи _ {п} ^ {(N, j)}}$ выбирается случайным образом с вероятностью, пропорциональной ${ displaystyle G left ( xi _ {n} ^ {(N, j)} right)}$ и переходит в новое состояние ${ Displaystyle хи _ {п + 1} ^ {(N, я)} = у}$ случайно выбранный с распределением вероятностей ${ displaystyle M left ( xi _ {n} ^ {(N, j)}, y right).}$ Если ${ Displaystyle G (х) = 1}$ является единичной функцией и ${ displaystyle epsilon = 1}$, взаимодействие между частицей исчезает и модель частицы сводится к последовательности независимых копий цепи Маркова ${ displaystyle X_ {n}}$. Когда ${ displaystyle epsilon = 0}$ описанная выше модель частиц среднего поля сводится к простому мутация-отбор генетический алгоритм с функцией приспособленности грамм и мутационный переход M. Эти нелинейные модели цепей Маркова и их интерпретация частиц среднего поля могут быть расширены на неоднородные по времени модели на общих измеримых пространствах состояний (включая переходные состояния, пространства путей и пространства случайных переходов) и на модели непрерывного времени.^[1][2][3]

Гауссовские нелинейные модели пространства состояний

Мы рассматриваем последовательность вещественных случайных величин ${ displaystyle left ({ overline {X}} _ {0}, { overline {X}} _ {1}, cdots right)}$ последовательно определяемые уравнениями

${ displaystyle { overline {X}} _ {n + 1} = E left (a left ({ overline {X}} _ {n} right) right) b left ({ overline { X}} _ {n} right) + c left ({ overline {X}} _ {n} right) + sigma W_ {n}}$

(3)

с коллекцией ${ displaystyle W_ {n}}$ независимых стандартный гауссовский случайные величины, положительный параметр σ, некоторые функции ${ displaystyle a, b, c: mathbf {R} to mathbf {R},}$ и некоторое стандартное гауссовское начальное случайное состояние ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$. Мы позволяем ${ displaystyle eta _ {n}}$ - распределение вероятностей случайного состояния ${ displaystyle { overline {X}} _ {n}}$; то есть для любого ограниченного измеримая функция ж, у нас есть

${ displaystyle E left (е ({ overline {X}} _ {n}) right) = int _ { mathbf {R}} f (x) eta _ {n} (dx),}$

с

${ Displaystyle mathbf {P} left ({ overline {X}} _ {n} in dx right) = eta _ {n} (dx)}$

Интеграл - это Интеграл Лебега, и dx обозначает бесконечно малую окрестность состояния Икс. В Марковский переход цепи задана для любых ограниченных измеримых функций ж по формуле

${ displaystyle E left ( left.f left ({ overline {X}} _ {n + 1} right) right | { overline {X}} _ {n} = x right) = int _ { mathbf {R}} K _ { eta _ {n}} (x, dy) f (y),}$

с

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} (x, dy) = mathbf {P} left ( left. { overline {X}} _ {n + 1} in dy right | { overline {X}} _ {n} = x right) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} exp { left {- { frac {1} { 2 sigma ^ {2}}} left (y- left [b (x) int _ { mathbf {R}} a (z) eta _ {n} (dz) + c (x) right] right) ^ {2} right }} dy}$

Используя свойство башни условные ожидания мы доказываем, что вероятностные распределения ${ displaystyle eta _ {n}}$ удовлетворяют нелинейному уравнению

${ displaystyle int _ { mathbf {R}} eta _ {n + 1} (dy) f (y) = int _ { mathbf {R}} left [ int _ { mathbf {R }} eta _ {n} (dx) K _ { eta _ {n}} (x, dy) right] f (y)}$

для любых измеримых ограниченных функций ж. Это уравнение иногда записывают в более синтетической форме

${ displaystyle eta _ {n + 1} = Phi left ( eta _ {n} right) = eta _ {n} K _ { eta _ {n}} quad Leftrightarrow quad eta _ {n + 1} (dy) = left ( eta _ {n} K _ { eta _ {n}} right) (dy) = int _ {x in mathbf {R}} eta _ {n} (dx) K _ { eta _ {n}} (x, dy)}$

Интерпретация этой модели частицей среднего поля определяется цепью Маркова

${ Displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }верно)}$

на пространстве продукта ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {N}}$ к

${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N, i)} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} a left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) right) b left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) + c left ( xi _ {n } ^ {(N, i)} right) + sigma W_ {n} ^ {i} qquad 1 leqslant i leqslant N}$

куда

${ Displaystyle xi _ {0} ^ {(N)} = left ( xi _ {0} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {0} ^ {(N, N) } right), qquad left (W_ {n} ^ {1}, cdots, W_ {n} ^ {N} right)}$

стоять за N независимые копии ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$ и ${ Displaystyle W_ {п}; п geqslant 1,}$ соответственно. Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций а, б, c) имеем почти наверное сходимость

${ displaystyle { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} f left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {n} ^ {N} (dy) to _ {N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {n }) right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {n} (dy),}$

с эмпирической мерой

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} delta _ { xi _ {n} ^ {(N ,я)}}}$

для любых измеримых ограниченных функций ж (см. например ^[2]). На приведенном выше дисплее ${ displaystyle delta _ {x}}$ стоит за Мера Дирака в государстве Икс.

Модели среднего поля с непрерывным временем

Мы рассматриваем стандартное броуновское движение ${ displaystyle { overline {W}} _ {t_ {n}}}$ (a.k.a. Винеровский процесс) оценивается на временной сетке. ${ displaystyle t_ {0} = 0$ с заданным временным шагом ${ displaystyle t_ {n} -t_ {n-1} = h}$. Мы выбрали ${ Displaystyle с (х) = х}$ в уравнении (1) заменяем ${ displaystyle b (x)}$ и σ к ${ Displaystyle б (х) раз ч}$ и ${ displaystyle sigma times { sqrt {h}}}$, и мы пишем ${ displaystyle { overline {X}} _ {t_ {n}}}$ вместо ${ displaystyle { overline {X}} _ {n}}$ значения случайных состояний, оцененные на временном шаге ${ displaystyle t_ {n}.}$ Напоминая, что ${ displaystyle left ({ overline {W}} _ {t_ {n + 1}} - { overline {W}} _ {t_ {n}} right)}$ независимые центрированные гауссовские случайные величины с дисперсией ${ displaystyle t_ {n} -t_ {n-1} = h,}$ полученное уравнение можно переписать в следующем виде

${ displaystyle { overline {X}} _ {t_ {n + 1}} - { overline {X}} _ {t_ {n}} = E left (a left ({ overline {X}}) _ {t_ {n}} right) right) b ({ overline {X}} _ {t_ {n}}) h + sigma left ({ overline {W}} _ {t_ {n + 1 }} - { overline {W}} _ {t_ {n}} right)}$

(4)

Когда час → 0, приведенное выше уравнение сходится к нелинейному диффузионному процессу

${ Displaystyle d { overline {X}} _ {t} = E left (a left ({ overline {X}} _ {t} right) right) b ({ overline {X}} _ {t}) dt + sigma d { overline {W}} _ {t}}$

Модель среднего поля с непрерывным временем, связанная с этими нелинейными диффузиями, представляет собой (взаимодействующий) процесс диффузии ${ displaystyle xi _ {t} ^ {(N)} = left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) _ {1 leqslant i leqslant N}}$ на пространстве продукта ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {N}}$ определяется

${ displaystyle d xi _ {t} ^ {(N, i)} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} a left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) right) b left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) + sigma d { overline {W}} _ {t} ^ {i} qquad 1 leqslant i leqslant N}$

куда

${ Displaystyle xi _ {0} ^ {(N)} = left ( xi _ {0} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {0} ^ {(N, N) } right), qquad left ({ overline {W}} _ {t} ^ {1}, cdots, { overline {W}} _ {t} ^ {N} right)}$

находятся N независимые копии ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$ и ${ displaystyle { overline {W}} _ {t}.}$ Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций а, б) имеем почти наверное сходимость

${ displaystyle { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} f left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {t} ^ {N} (dy) to _ {N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {t }) right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {t} (dy)}$,

с ${ displaystyle eta _ {t} = { text {Law}} left ({ overline {X}} _ {t} right),}$ и эмпирическая мера

${ displaystyle eta _ {t} ^ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} delta _ { xi _ {t} ^ {(N ,я)}}}$

для любых измеримых ограниченных функций ж (см. например.^[7]). Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на взаимодействующие процессы скачкообразной диффузии.^{[1][2][23][25]}

Рекомендации

внешняя ссылка