WikiDer > Проблема Хишса - Википедия

Heeschs problem - Wikipedia
Многоугольник с числом Хиша 5, наивысшим из известных конечных чисел, найден Кейси Манн[1]

В геометрия, то Число Хиша формы - это максимальное количество слоев копий одной и той же формы, которые могут ее окружать. Проблема Хиша - это проблема определения набора чисел, которые могут быть числами Хиша. Оба названы в честь геометра Генрих Хееш,[2] кто нашел плитку с числом Хиша 1 (объединение квадрата, равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника 30-60-90)[3] и предложил более общую проблему.[4]

Например, квадрат может быть окружен бесконечным количеством слоев конгруэнтный квадраты в квадратная черепица, в то время как круг не может быть окружен даже одним слоем конгруэнтных кругов, не оставляя за собой пробелов. Число Хиша квадрата бесконечно, а число Хиша круга равно нулю. В более сложных примерах, таких как показанный на иллюстрации, многоугольный плитка может быть окружена несколькими слоями, но не бесконечным множеством; максимальное количество слоев - это число Хиша плитки.

Формальные определения

А мозаика плоскости - это разделение плоскости на более мелкие области, называемые плитка. Нулевая корона плитки определяется как сама плитка, а для k > 0 kth corona - это набор плиток, разделяющих граничную точку с (k - 1) корона. В Число Хиша фигуры S это максимальное значение k такое, что существует мозаика плоскости, и плитка т внутри этой плитки, для которой все плитки от нуля до kй короны т конгруэнтны S. В некоторых работах по этой проблеме это определение модифицируется, чтобы дополнительно требовать, чтобы объединение нуля через kй короны т это односвязный область, край.[1]

Если не существует верхней границы числа слоев, которыми может быть окружена плитка, ее число Хиша называется бесконечным. В этом случае аргумент, основанный на Лемма Кёнига может использоваться, чтобы показать, что существует мозаика всей плоскости конгруэнтными копиями плитки.[5]

AmmannПример многоугольника с числом Хиша 4

Пример

Рассмотрим невыпуклый многоугольник п изображенный на рисунке справа, который образован из правильного шестиугольника путем добавления выступов на двух его сторонах и совмещения углублений с трех сторон. На рисунке показана мозаика, состоящая из 61 копии п, одна большая бесконечная область и четыре маленьких ромбовидных многоугольника внутри четвертого слоя. Первая-четвертая короны центрального многоугольника полностью состоят из конгруэнтных копий п, поэтому его число Хиша не меньше четырех. Нельзя переставлять копии многоугольника на этом рисунке, чтобы избежать образования маленьких ромбовидных многоугольников, потому что 61 копия многоугольника п имеют слишком много углублений по сравнению с количеством выступов, которые могут их заполнить. Формализовав этот аргумент, можно доказать, что число Хиша п ровно четыре. Согласно модифицированному определению, которое требует, чтобы короны были односвязными, число Хиша равно трем. Этот пример был обнаружен Роберт Амманн.[1]

Известные результаты

Неизвестно, могут ли все положительные целые числа быть числами Хиша. Первые примеры полигонов с числом Хиша 2 были предоставлены Фонтейн (1991), который показал, что бесконечно много полимино есть это свойство.[1][6] Кейси Манн построил семейство плиток, каждая из которых имеет число Хиша 5, которое является самым высоким из известных. Плитки Манна имеют число Хиша 5 даже с ограниченным определением, в котором каждая корона должна быть односвязной.[1]

Для соответствующей задачи в гиперболическая плоскость, число Хиша может быть сколь угодно большим.[7]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е Манн, Кейси (2004), "Проблема плитки Хиша" (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 111 (6): 509–517, Дои:10.2307/4145069, JSTOR 4145069, МИСТЕР 2076583.
  2. ^ Хиш (1968), как цитирует Грюнбаум и Шепард (1987) и Фонтейн (1991).
  3. ^ Датч, Стивен. "Плитка Heesch: интересный не плиточник". Естественные и прикладные науки, Университет Висконсина - Грин-Бей. Архивировано из оригинал на 2017-08-25. Получено 2008-12-22.
  4. ^ Грюнбаум и Шепард (1987, pp. 155–156, Проблема Хиша)
  5. ^ Грюнбаум и Шепард (1987), п. 151, 3.8.1 Теорема о продолжении)
  6. ^ Фонтейн, Энн (1991), «Бесконечное количество плоских фигур с числом Хиша два», Журнал комбинаторной теории, Серия А, 57 (1): 151–156, Дои:10.1016/0097-3165(91)90013-7.
  7. ^ Тарасов, А. С. (2010), О том числе Хееша для плоскости Лобачевского [О числе Хиша для гиперболической плоскости], Математические заметки (на русском), 88 (1): 97–104, Дои:10,4213 / mzm5251, МИСТЕР 2882166. Английский перевод в Математика. Примечания 88 (1–2): 97–102, 2010, Дои:10.1134 / S0001434610070096.

Источники

дальнейшее чтение

внешняя ссылка