WikiDer > Список евклидовых однородных мозаик

List of Euclidean uniform tilings

Пример равномерного замощения в Археологический музей Севильи, Севилья, Испания: ромбитогексагональная черепица

В этой таблице показаны 11 выпуклых однородные мозаики (регулярные и полурегулярные) Евклидова плоскость, и их двойственные мозаики.

Есть три обычных^[1] и восемь полурегулярных мозаики в плоскости. Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из неправильных граней одного типа.

Джон Конвей называет эти однородные двойники Каталонская мозаика, параллельно с Каталонский твердый многогранники.

Равномерные мозаики перечислены по их конфигурация вершины, последовательность граней, которые существуют в каждой вершине. Например 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника на вершине.

Эти 11 однородных мозаик имеют 32 различных равномерные раскраски. Равномерная раскраска позволяет по-разному раскрашивать многоугольники с одинаковыми сторонами в вершине, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационную конгруэнтность между вершинами. (Примечание: некоторые изображения мозаики, показанные ниже, нет цвет-униформа)

Помимо 11 выпуклых однородных мозаик, есть еще 14 невыпуклых мозаик, с помощью звездные многоугольники, и конфигурации вершин обратной ориентации.

Лавес плитки

В книге 1987 г. Плитки и узоры, Бранко Грюнбаум называет однородные по вершинам мозаики Архимедов параллельно с Архимедовы тела. Их двойные мозаики называются Лавес плитки в честь кристаллограф Фриц Лавес.^[2]^[3] Их еще называют Разбиения Шубникова – Лавеса после Шубников Алексей Васильевич.^[4] Джон Конвей называется равномерными двойниками Каталонская мозаика, параллельно с Каталонский твердый многогранники.

У мозаик Лавеса есть вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников с общим ребром. В плитка мозаик Лавеса называются планигоны. Сюда входят 3 правильных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток.^[5] У каждой вершины есть ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигоны называются стереоэдры.

Эти двойственные мозаики перечислены по их конфигурация лица, количество граней в каждой вершине грани. Например V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами с восемью треугольниками. Ориентации вершинных планигонов (до D₁₂) согласуются с диаграммами вершин в следующих разделах.

Одиннадцать планигонов
Треугольники				Четырехугольники			Пятиугольники			Шестиугольник
V6³	V4.8²	V4.6.12	V3.12²	V4⁴	В (3,6)²	V3.4.6.4	V3².4.3.4	V3⁴.6	V3³.4²	V3⁶

Выпуклые равномерные мозаики евклидовой плоскости

Все отражающие формы могут быть выполнены Конструкции Wythoff, представлена Символы Wythoff, или же Диаграммы Кокстера-Дынкина, каждый из которых работает на одном из трех Треугольник Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3,3) с симметрией, представленной Группы Кокстера: [4,4], [6,3] или [3^[3]]. Альтернативный такие формы, как пренебрежение, также могут быть представлены специальными надписями внутри каждой системы. Только один однородный тайлинг не может быть построен с помощью процесса Уайтхоффа, но может быть создан с помощью удлинение треугольной плитки. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞, 2, ∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эта симметрия может быть увеличена диагональным зеркалом до семейства [4,4].

Семьи:

(4,4,2), ${ displaystyle { tilde {BC}} _ {2}}$ ${{ tilde {BC}}} _ {2}$ , [4,4] - Симметрия регулярного квадратная черепица
- ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1} ^ {2}}$ , [∞,2,∞]
(6,3,2), ${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ ${ tilde {G}} _ {2}$ , [6,3] - Симметрия регулярного шестиугольная черепица и треугольная черепица.
- (3,3,3), ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ , [3^[3]]

Семейство групп [4,4]

Равномерные мозаики (Платонический и Архимедовский)	Фигура вершины и двойное лицо Символ (ы) Wythoff Группа симметрии Диаграмма Кокстера(s)	Двойной-однородные мозаики (так называемые Laves или каталонские плитки)
Квадратная плитка (кадриль)	4.4.4.4 (или 4⁴) 4 \| 2 4 p4m, [4,4], (*442)	самодвойственный (кадриль)
Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль)	4.8.8 2 \| 4 4 4 4 2 \| p4m, [4,4], (*442) или же	Квадратная плитка Тетракис (кисвадриль)
Плоская квадратная черепица (курносая кадриль)	3.3.4.3.4 \| 4 4 2 p4g, [4⁺,4], (4*2) или же	Каир пятиугольная черепица (4-кратный пентиль)

Группа [6,3] семейство

Платоновы и архимедовы мозаики	Фигура вершины и двойное лицо Символ (ы) Wythoff Группа симметрии Диаграмма Кокстера(s)	Двойной Лавес плитки
Шестиугольная черепица (гексилль)	6.6.6 (или 6³) 3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \| p6m, [6,3], (*632)	Треугольная черепица (дельтиль)
Трехгранная черепица (гексаделтил)	(3.6)² 2 \| 6 3 3 3 \| 3 p6m, [6,3], (*632) =	Ромбильная плитка (ромбиль)
Усеченная шестиугольная мозаика (усеченный гексилль)	3.12.12 2 3 \| 6 p6m, [6,3], (*632)	Треугольная черепица Triakis (кисделтилле)
Треугольная черепица (дельтиль)	3.3.3.3.3.3 (или 3⁶) 6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3 p6m, [6,3], (*632) =	Шестиугольная черепица (гексилль)
Ромбитрихексагональная черепица (ромбогексаделтилле)	3.4.6.4 3 \| 6 2 p6m, [6,3], (*632)	Дельтоидальная трехгексагональная черепица (тетрилль)
Усеченная трехгексагональная мозаика (усеченный гексаделтил)	4.6.12 2 6 3 \| p6m, [6,3], (*632)	Kisrhombille плитка (кисромбиль)
Плоская трехгексагональная черепица (курносый гексилль)	3.3.3.3.6 \| 6 3 2 p6, [6,3]⁺, (632)	Пятиугольная черепица Floret (6-кратный пентиль)

Невитхоффовская равномерная мозаика

Платоновы и архимедовы мозаики	Фигура вершины и двойное лицо Символ (ы) Wythoff Группа симметрии Диаграмма Кокстера	Двойной Лавес плитки
Удлиненная треугольная черепица (изоснуб кадриль)	3.3.3.4.4 2 \| 2 (2 2) см, [∞,2⁺,∞], (2*22)	Призматическая пятиугольная черепица (изо (4-) пентилл)